《2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版》

1. 在$Rt\triangle ABC$中,两条直角边长分别为$a$,$b$,已知$∠C = 90^{\circ}$,$a = 12$,$b = 16$,则$c$的长为( )

A.26
B.18
C.20
D.21

答案： C

2. 如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点$A$,$B$都是格点,则线段$AB$的长度为( )

A.5
B.6
C.7
D.25

答案： A

3. 在平面直角坐标系中,点$A(2,-4)$到原点的距离为( )

A.2
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$

答案： D

4. 如图,有一张直角三角形的纸片,两直角边$AC = 6cm$,$BC = 8cm$,现将该纸片沿直线$AD$折叠,使它落在斜边$AB上且与AE$重合,则$BE$的长为( )

A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm

答案： 【解析】：本题可先根据勾股定理求出斜边$AB$的长度，再利用折叠的性质得到相关线段和角的关系，最后通过设未知数，根据勾股定理建立方程求解$BE$的长。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6cm$，$BC = 8cm$，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，可得$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10cm$。
因为$\triangle ADE$是由$\triangle ADC$沿直线$AD$折叠得到的，所以$\triangle ADE\cong\triangle ADC$，则$AE = AC = 6cm$，$DE = DC$，$\angle AED = \angle C = 90^{\circ}$。
所以$BE = AB - AE = 10 - 6 = 4cm$。
设$DE = DC = x cm$，则$BD = (8 - x)cm$。
在$Rt\triangle BDE$中，根据勾股定理$BD^{2}=DE^{2}+BE^{2}$，即$(8 - x)^{2}=x^{2}+4^{2}$。
展开式子得$64 - 16x + x^{2}=x^{2}+16$。
移项化简可得$16x = 48$，解得$x = 3$。
但我们要求的是$BE$的长，前面已得出$BE = 4cm$。
【答案】：C

5. 等腰三角形$ABC$中,$AB = AC = 10cm$,$BC = 12cm$,则$BC$边上的高是______cm.

答案： 8

6. 若一个直角三角形的三边长分别为2,3,$x$,则$x = $______.

答案： $\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$

7. $Rt\triangle ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$,$a$,$b$,$c分别为∠A$,$∠B$,$∠C$的对边边长. 若$c - b = 2$,$a = 4$,则$b = $______.

答案： 3

8. 小明将一副三角板如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长. 若已知$CD = 2$,求$AC$的长.

答案： 解:$\because BD=CD=2$,$\therefore BC=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$.设$AB=$$x$,则$AC=2x$,$\therefore x^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=(2x)^{2}$.解得$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}$(负值舍去).$\therefore AC=2AB=\frac{4}{3}\sqrt{6}$.

9. 如图是我国魏晋时期的数学家赵爽用4个两直角边分别为$a$,$b(a\geqslant b)$,斜边为$c$的直角三角形拼成的正方形图形,并用此图证明勾股定理,请你用此“弦图”写出证明勾股定理的过程.

答案： 证明:$\because$大正方形的面积$=c^{2}$,小正方形的面积$=(b-$$a)^{2}$,四个直角三角形的面积$=4×\frac{1}{2}ab=2ab$,$\therefore c^{2}-$$(b-a)^{2}=2ab$,整理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

10. 如图,直角三角形的斜边长为17cm,一条直角边长为15cm,则阴影部分的正方形面积是______$cm^{2}$.

答案： 64