《2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版》

例1 下列方程中,属于一元二次方程的是( )

A.$ x - 2y = 1 $
B.$ x ^ { 2 } - 2x + 1 = 0 $
C.$ x ^ { 2 } - 2y + 4 = 0 $
D.$ x ^ { 2 } + 3 = \frac { 2 } { 3 } $
导析：根据一元二次方程的定义,即可判断求解。
解答：B

答案： 解：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
A. 含有两个未知数，不是一元二次方程；
B. 只含有一个未知数x，且x的最高次数是2，是整式方程，是一元二次方程；
C. 含有两个未知数，不是一元二次方程；
D. 不是整式方程（分母含有未知数），不是一元二次方程。
结论：B

1. 若关于 $ x $ 的方程 $ ( a - 1 ) x ^ { 2 } + a x - 1 = 0 $ 是一元二次方程,则 $ a $ 的取值范围是______。

答案： a≠1

例2 把一元二次方程 $ x ( x + 1 ) = 3 x + 2 $ 化为一般形式,正确的是( )

A.$ x ^ { 2 } - 2 x - 2 = 0 $
B.$ x ^ { 2 } - 2 x + 2 = 0 $
C.$ x ^ { 2 } - 3 x - 1 = 0 $
D.$ x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0 $
导析：直接化为一元二次方程的一般形式即可得出答案。
解答：A

答案： 【解析】：
首先，我们需要将给定的方程 $x(x + 1) = 3x + 2$ 化为一般形式。
展开左侧得：$x^2 + x$，
将其与右侧相等，得：$x^2 + x = 3x + 2$，
移项，使所有项都在方程的一侧，得：$x^2 + x - 3x - 2 = 0$，
合并同类项，得：$x^2 - 2x - 2 = 0$。
与选项进行对比，可以看出答案为A。
【答案】：
A

2. 将一元二次方程 $ 2 x ^ { 2 } = 5 x - 3 $ 化成一般形式之后,若二次项的系数是2,则一次项系数为______,常数项为______。

答案： -5 3

例3 下列是方程 $ x ^ { 2 } + 2 x - 8 = 0 $ 的根的是( )

A.-4或2
B.-4
C.2
D.0
导析：根据一元二次方程的解的定义,用代入法即可解题。
解答：A

答案： 【解析】：
本题考查了一元二次方程的解的定义。一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。因此，我们可以通过代入法，将选项中的值分别代入方程 $x^{2} + 2x - 8 = 0$ 中进行验证。
对于选项A，分别代入 $x = -4$ 和 $x = 2$：
当 $x = -4$ 时，$(-4)^{2} + 2 × (-4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$，满足方程。
当 $x = 2$ 时，$2^{2} + 2 × 2 - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$，也满足方程。
因此，$x = -4$ 和 $x = 2$ 都是方程的解。
对于选项B和C，由于它们只给出了一个解，而没有给出全部解，所以不符合题目要求。
对于选项D，代入 $x = 0$，得到 $0^{2} + 2 × 0 - 8 = -8 \neq 0$，所以 $x = 0$ 不是方程的解。
【答案】：
A

3. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + 2 x + k = 0 $ 的一个根是-1,则 $ k = $______。

答案： 1

1. 下列方程不一定是一元二次方程的是( )

A.$ x ^ { 2 } + 5 = 0 $
B.$ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $
C.$ ( x + 3 ) ( x - 2 ) = x + 5 $
D.$ \sqrt { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 57 } x - 2 = 0 $

答案： B

2. 若 $ m $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0 $ 的一个根,则 $ m ^ { 2 } + 2 m $ 的值为( )

A.-1
B.-2
C.1
D.2

答案： C

3. 一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔。已知正方形面积是圆面积的 $ \frac { 1 } { 9 } $。设圆的半径为 $ x $ cm,可列方程：______。

答案： $\frac{1}{9}\pi x^{2}=1$

4. 把方程 $ ( 3 x + 1 ) ( x - 1 ) = - 1 $ 化成一般形式为______,二次项系数为______,一次项系数为______,常数项为______。

答案： $3x^{2}-2x=0$ 3 -2 0