《2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版》

5.在Rt△ABC中,有两边的长分别为3和4,则第三边的长是______.

答案： 5或$\sqrt{7}$

6.如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AB= 5cm,AC= 3cm,动点P从点B出发,沿射线BC以2cm/s的速度移动.设运动的时间为ts.当t= ______时,△ABP为直角三角形.

答案： 2或$\frac{25}{8}$

例3 如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为______cm(杯壁厚度不计).

导析:如图,将玻璃杯侧面展开(展开图的一半),作点B关于EF的对称点B',作B'D⊥AE,交AE的延长线于点D,连接AB'.根据两点之间线段最短可知B'A的长度即为所求.

解答:10

答案： 解：将圆柱形玻璃杯侧面展开（展开图的一半），杯高9cm，底面周长16cm，展开后矩形长为底面周长的一半8cm，宽为杯高9cm。
点A在杯内壁离杯底4cm处，展开后在距下底4cm，距矩形一边8cm处；点B在杯外壁离杯上沿1cm且与A相对，展开后在距上底1cm，距矩形另一边8cm处。
作点B关于展开图上边沿EF的对称点B'，则B'到EF的距离等于B到EF的距离1cm，所以B'到展开图下边沿的距离为9 + 1 = 10cm。
点A到展开图下边沿的距离为4cm，所以B'到A在竖直方向的距离为10 - 4 = 6cm；A与B'在水平方向的距离为8cm。
连接AB'，在Rt△AB'D中（D为B'D与AE延长线交点），AD = 8cm，B'D = 6cm，根据勾股定理得AB' = √(8² + 6²) = 10cm。
10

7.如图是一块长、宽、高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处,沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是$ ( )A.\sqrt{85}cm B.\sqrt{97}cm C.\sqrt{109}cm D.9cm$

答案： A

8.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是______尺.

答案： 25

9.如图是一个三级台阶模具,它的每一级的长、宽和高分别为5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只春蚕,想到B点去吃可口的桑叶.若沿着台阶面爬行,请你求出它爬行的最短路线长.

答案： 解:如图，由题意可知AB的长即为春蚕爬行的最短路线长.在Rt△ACB中，AC=3×3+1×3=12(cm),BC=5cm,由勾股定理得AB²=AC²+BC²,
∴AB=13cm.故春蚕至少爬行13cm才能吃到可口的桑叶.