《2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版》

1. 抛物线$y = -x^{2}-2$的顶点坐标为( )

A.$(2,0)$
B.$(-2,0)$
C.$(0,-2)$
D.$(2,3)$

答案： C

2. 如图,二次函数$y = -2x^{2}+1$的图象是( )

答案： C

3. 将抛物线$y = 2x^{2}-3向上平移3$个单位长度,则平移后的二次函数的解析式为( )

A.$y = 2x^{2}+3$
B.$y = 2x^{2}$
C.$y = 2(x - 3)^{2}$
D.$y = 2(x + 3)^{2}$

答案： B

4. 已知点$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})在二次函数y = ax^{2}+1(a＜0)$的图象上,若$x_{1}＞x_{2}＞0$,则$y_{1}$____$y_{2}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)。

答案： ＜

5. 已知二次函数$y = ax^{2}-2的图象经过点(-1,1)$。
(1)求二次函数的解析式；
(2)写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴。

答案：
(1)
∵二次函数$y=ax^{2}-2$的图象经过点(-1，1),
∴$a-2=1$,解得$a=3$.
∴二次函数解析式为$y=3x^{2}-2$.
(2)
∵二次函数解析式为$y=3x^{2}-2$,$a=3＞0$,
∴函数图象开口向上,对称轴为y轴.当$x=0$时,$y=-2$,
∴顶点坐标为(0,-2).

6. 抛物线$y = ax^{2}+c与y = -5x^{2}$的形状、开口方向都相同,且$y = ax^{2}+c经过点(0,3)$。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)$y = ax^{2}+c是由抛物线y = -5x^{2}$经过怎样的平移得到的？

答案：
(1)抛物线$y=ax^{2}+c$与$y=-5x^{2}$的形状、开口方向都相同,
∴$a=-5$.
∵抛物线$y=ax^{2}+c$经过点(0,3),
∴$c=3$.
∴该抛物线的解析式为$y=-5x^{2}+3$.
(2)$y=-5x^{2}+3$是由抛物线$y=-5x^{2}$向上平移3个单位长度得到的.

7. 已知抛物线的对称轴为$y$轴,该函数的最大值为$3$,且经过点$(1,1)$。
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与$x轴交于A$,$B$两点($A点在B$点的左边),与$y轴交于点C$,求$S_{\triangle ABC}$。

答案：
(1)根据题意设此抛物线的解析式为$y=ax^{2}+3$,把(1,1)代入,得$1=a+3$,即$a=-2$,则此抛物线的解析式为$y=-2x^{2}+3$.
(2)令$y=0$,即$-2x^{2}+3=0$,解得$x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$,故$AB=\sqrt{6}$.令$x=0$,得$y=3$,即$OC=3$.则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{3\sqrt{6}}{2}$.