《2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版》

1. 估计$\sqrt{8} × \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{3}$的运算结果的范围应在( )

A.1到2之间
B.2到3之间
C.3到4之间
D.4到5之间

答案： C

2. 能使等式$\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x+1}}= \sqrt{\frac{x-3}{x+1}}$成立的x的取值范围在数轴上可表示为( )

答案： B

3. 如果最简二次根式$\sqrt{3a-8}与\sqrt{17-2a}$可以合并,那么$a= $____。

答案： 5

4. 计算：
(1)$\sqrt{2} × \sqrt{6}-\sqrt{3}$；
(2)$(\sqrt{32}+\sqrt{\frac{1}{2}}-2\sqrt{\frac{1}{3}})-(\sqrt{\frac{1}{8}}-\sqrt{48})$；
(3)$(5+\sqrt{6})(5\sqrt{2}-2\sqrt{3})$；
(4)$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2025} × (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2024}$。

答案： 解:
(1)原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
(2)原式$=\left(4\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}-2×\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)-\left(\frac{1}{4}\sqrt{2}-4\sqrt{3}\right)=4\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{2}{3}\sqrt{3}-\frac{1}{4}\sqrt{2}+4\sqrt{3}=\frac{17}{4}\sqrt{2}+\frac{10}{3}\sqrt{3}$.
(3)原式$=5×5\sqrt{2}-5×2\sqrt{3}+\sqrt{6}×5\sqrt{2}-\sqrt{6}×2\sqrt{3}=25\sqrt{2}-10\sqrt{3}+10\sqrt{3}-6\sqrt{2}=19\sqrt{2}$.
(4)原式$=(\sqrt{3}+\sqrt{2})×(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2024}×(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2024}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})×[(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})]^{2024}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$.

5. 一个长方体木盒的左、右侧面是面积为$12cm^{2}$的正方形,上、下底面的面积是$18\sqrt{3}cm^{2}$,试求该长方体的长。

答案： 解:由题意知长方体的宽和高为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}(\text{cm})$.设长方体的长为$x\ \text{cm}$,则依题意可得$2\sqrt{3}x=18\sqrt{3}$,解得$x=9$.故该长方体的长是$9\ \text{cm}$.

6. 先化简,再求值：$\frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{a^{2}-b^{2}} ÷ (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$,其中$a= \sqrt{2}+1$,$b= \sqrt{2}-1$。

答案： 解:原式$=\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)}÷\frac{b-a}{ab}=-\frac{ab}{a+b}$.当$a=\sqrt{2}+1$,$b=\sqrt{2}-1$时,$a+b=2\sqrt{2}$,$ab=1$.$\therefore$原式$=-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

摸球游戏
[游戏规则]如图,在一个密闭的容器中放入四个小球,小球分别标有如图所示的数。现从容器中摸取小球,规定：若摸取到白色球,就加上球上的数；若摸取到灰色球,就减去球上的数。

[开始游戏]从容器中任意摸取三个小球,并计算出结果。

答案： 答案略