《2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版》

例1 不解方程,判断下列方程的根的情况：
(1)$2x^{2}+x-6= 0$；
(2)$x^{2}-2\sqrt {3}x+3= 0$。
导析：根据$\Delta =b^{2}-4ac$的值与0的大小关系判断每个方程根的情况。
解答：(1)$\because a= 2,b= 1,c= -6$,
$\therefore \Delta =1^{2}-4×2×(-6)= 49＞0$。
$\therefore$此方程有两个不相等的实数根。
(2)$\because a= 1,b= -2\sqrt {3},c= 3$,
$\therefore \Delta =(-2\sqrt {3})^{2}-4×1×3= 0$。
$\therefore$此方程有两个相等的实数根。

答案： 【解析】：
本题主要考查了利用判别式$\Delta = b^{2} - 4ac$来判断一元二次方程的根的情况。
对于一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$，当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
(1) 对于方程$2x^{2} + x - 6 = 0$，需要确定系数$a$，$b$，$c$的值，然后计算判别式$\Delta$，并根据其与0的大小关系判断方程的根的情况。
(2) 对于方程$x^{2} - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$，同样需要确定系数$a$，$b$，$c$的值，然后计算判别式$\Delta$，并根据其与0的大小关系判断方程的根的情况。
【答案】：
(1) 解：
$\because a = 2$，$b = 1$，$c = -6$，
$\therefore \Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 × 2 × (-6) = 49 ＞ 0$，
$\therefore$此方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：
$\because a = 1$，$b = -2\sqrt{3}$，$c = 3$，
$\therefore \Delta = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{3})^{2} - 4 × 1 × 3 = 0$，
$\therefore$此方程有两个相等的实数根。

1.以下一元二次方程没有实数根的是 ( )

A.$x^{2}-6x= 0$
B.$x^{2}-9= 0$
C.$x^{2}-6x+6= 0$
D.$x^{2}-6x+10= 0$

答案： D

例2 关于x的一元二次方程$(m-2)x^{2}+4x+2= 0$有两个实数根,则m的取值范围是( )

A.$m≤4$
B.$m≥4$
C.$m≥-4且m≠2$
D.$m≤4且m≠2$
导析：由题意可得$\Delta =b^{2}-4ac≥0$,从而可以列出关于m的不等式,求解即可,还要考虑二次项的系数不能为0。
解答：D
方法归纳：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$,利用判别式求参数时,注意满足前提条件$a≠0$。

答案： 解：
∵方程为一元二次方程，
∴二次项系数$m - 2 \neq 0$，解得$m \neq 2$。
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta = 4^2 - 4(m - 2)×2 \geq 0$，
即$16 - 8(m - 2) \geq 0$，
$16 - 8m + 16 \geq 0$，
$-8m + 32 \geq 0$，
$-8m \geq -32$，
解得$m \leq 4$。
综上，$m$的取值范围是$m \leq 4$且$m \neq 2$。
答案：D

2.若关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+c= 0$有两个相等的实数根,则实数c的值为 ( )

A.-16
B.-4
C.4
D.16

答案： C

例3 用公式法解方程：$2x^{2}+x= 6$。
导析：把方程化为一般形式→找出它的二次项系数a、一次项系数b和常数项c→求出$\Delta$的值→当$\Delta ≥0$时,运用求根公式求出方程的根。
解答：方程化为$2x^{2}+x-6= 0$。
$\because a= 2,b= 1,c= -6,\therefore \Delta =b^{2}-4ac= 1^{2}-4×2×(-6)= 1+48= 49＞0$。
$\therefore$方程有两个不相等的实数根,
$x= \frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}= \frac {-1\pm \sqrt {49}}{2×2}= \frac {-1\pm 7}{4}$,
即$x_{1}= \frac {3}{2},x_{2}= -2$。
方法归纳：运用公式法时,必须先将一元二次方程化成一般形式,再确定判别式非负,最后才能代入求根公式求解。

答案： 【解析】：
本题考查的是利用公式法解一元二次方程。
公式法即运用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$来求解一元二次方程的根，其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta\geq0$时，方程有实数根。
首先将原方程$2x^{2}+x = 6$化为一般形式$2x^{2}+x - 6 = 0$，然后确定$a = 2$，$b = 1$，$c = -6$，接着计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$的值，判断其是否非负，最后代入求根公式求解方程的根。
【答案】：
解：方程化为$2x^{2}+x - 6 = 0$。
$\because a = 2$，$b = 1$，$c = -6$，
$\therefore\Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4×2×(-6)=1 + 48 = 49\gt0$。
$\therefore$方程有两个不相等的实数根，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2×2}=\frac{-1\pm7}{4}$，
即$x_{1}=\frac{-1 + 7}{4}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=\frac{-1 - 7}{4}=-2$。