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2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
例 将一组数$\sqrt{2},2,\sqrt{6},2\sqrt{2},\sqrt{10},2\sqrt{3},…,\sqrt{2n},…,$按以下方式进行排列：
第一行$ \sqrt{2}$
第二行$ 2 \sqrt{6}$
第三行$ 2\sqrt{2} \sqrt{10} 2\sqrt{3}$
…则第八行左起第1个数是$ ( )A.7\sqrt{2} B.8\sqrt{2} C.\sqrt{58} D.4\sqrt{7}$
导析:根据题意求出第八行左起第1个数是第几个数后即可求得答案.
解答:C
第一行$ \sqrt{2}$
第二行$ 2 \sqrt{6}$
第三行$ 2\sqrt{2} \sqrt{10} 2\sqrt{3}$
…则第八行左起第1个数是$ ( )A.7\sqrt{2} B.8\sqrt{2} C.\sqrt{58} D.4\sqrt{7}$
导析:根据题意求出第八行左起第1个数是第几个数后即可求得答案.
解答:C
答案：
【解析】：
本题主要考查数列的规律探索与识别。题目给出了一组数按照特定方式排列，需要找出第八行左起第一个数的具体值。
首先，观察数列的排列规律。数列中的每个数都是某个正整数的平方根的倍数，且这些正整数是连续的偶数（2，4，6，8，...）。
接下来，为了找到第八行左起第一个数，需要确定这个数在数列中的位置。
可以通过计算前七行中数的总数来确定这一点。
由于每行数的个数似乎在逐渐增加（第一行1个，第二行2个，第三行3个，依此类推），因此前七行的数总数为$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$（个），
第八行左起第一个数就是数列中的第$28 + 1 = 29$个数。
由于数列中的每个数对应一个连续的偶数（从2开始）的平方根，第八行左起第一个数对应的偶数是$2 × 29 = 58$。
因此，第八行左起第一个数是$\sqrt{58}$的倍数，即$\sqrt{58}$本身（因为每个数都是其对应偶数的平方根的1倍）。
最后，根据选项，可以看出只有选项C（$\sqrt{58}$）符合上述分析。
【答案】：
C
本题主要考查数列的规律探索与识别。题目给出了一组数按照特定方式排列，需要找出第八行左起第一个数的具体值。
首先，观察数列的排列规律。数列中的每个数都是某个正整数的平方根的倍数，且这些正整数是连续的偶数（2，4，6，8，...）。
接下来，为了找到第八行左起第一个数，需要确定这个数在数列中的位置。
可以通过计算前七行中数的总数来确定这一点。
由于每行数的个数似乎在逐渐增加（第一行1个，第二行2个，第三行3个，依此类推），因此前七行的数总数为$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$（个），
第八行左起第一个数就是数列中的第$28 + 1 = 29$个数。
由于数列中的每个数对应一个连续的偶数（从2开始）的平方根，第八行左起第一个数对应的偶数是$2 × 29 = 58$。
因此，第八行左起第一个数是$\sqrt{58}$的倍数，即$\sqrt{58}$本身（因为每个数都是其对应偶数的平方根的1倍）。
最后，根据选项，可以看出只有选项C（$\sqrt{58}$）符合上述分析。
【答案】：
C
1.观察分析下列数据:$0$,$-\sqrt{3}$,$\sqrt{6}$,$-3$,$2\sqrt{3}$,$-\sqrt{15}$,$3\sqrt{2}$,…$$,根据数据排列的规律得到第16个数据应是____(结果需化简).
答案：
$-3\sqrt{5}$ 点拨:题目中的数据可以整理为:$(-1)^{1+1}\cdot\sqrt{3×0}$,$(-1)^{2+1}\sqrt{3×1}$,$\cdots$,$(-1)^{n+1}\sqrt{3×(n-1)}$,$\therefore$第16 个数据为$(-1)^{16+1}\sqrt{3×(16-1)}=-3\sqrt{5}$.
2.观察规律:$\sqrt{3^{2}-1}= \sqrt{2}×\sqrt{4}$,$\sqrt{4^{2}-1}= \sqrt{3}×\sqrt{5}$,$\sqrt{5^{2}-1}= \sqrt{4}×\sqrt{6}$,…$$,将你猜想到的规律用含$n$的式子表示出来:____.
答案：
$\sqrt{(n+2)^{2}-1}=\sqrt{n+1}\cdot\sqrt{n+3}(n\geqslant1)$
3.计算下列各式的值:
$\sqrt{9^{2}+19}= $____;$\sqrt{99^{2}+199}= $____;$\sqrt{999^{2}+1999}= $____;$\sqrt{9999^{2}+19999}= $____.
观察所得结果,总结存在的规律,根据得到的规律可得$\sqrt{\underset{2018个9}{\underbrace{99…9}}^{2}+\underset{2018个9}{\underbrace{199…9}}}= $____.
$\sqrt{9^{2}+19}= $____;$\sqrt{99^{2}+199}= $____;$\sqrt{999^{2}+1999}= $____;$\sqrt{9999^{2}+19999}= $____.
观察所得结果,总结存在的规律,根据得到的规律可得$\sqrt{\underset{2018个9}{\underbrace{99…9}}^{2}+\underset{2018个9}{\underbrace{199…9}}}= $____.
答案：
10 100 1000 10000 $10^{2018}$ 点拨:先计算得到$\sqrt{9^{2}+19}=10=10^{1}$,$\sqrt{99^{2}+199}=100=10^{2}$,$\sqrt{999^{2}+1999}=1000=10^{3}$,$\sqrt{9999^{2}+19999}=10000=10^{4}$,计算的结果都是10的整数次幂,且这个指数的大小与被开方数中每个数中9的个数相同,故$\sqrt{\underset{2018个9}{\underbrace{99\cdots9^{2}}}+\underset{2018个9}{\underbrace{199\cdots9}}}=10^{2018}$.
4.观察下列各式及其验证过程:
$\sqrt{2+\dfrac{2}{3}}= 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$,验证:$\sqrt{2+\dfrac{2}{3}}= \sqrt{\dfrac{8}{3}}= \sqrt{\dfrac{2^{2}×2}{3}}= 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$;
$\sqrt{3+\dfrac{3}{8}}= 3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$,验证:$\sqrt{3+\dfrac{3}{8}}= \sqrt{\dfrac{27}{8}}= \sqrt{\dfrac{3^{2}×3}{8}}= 3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$.
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想$\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$的变形结果并进行验证.
(2)针对上述各式反映的规律,写出用$a$($a$为任意自然数,且$a\geqslant2$)表示的等式,并给出验证.
(3)针对三次根式及$n$次根式($n$为任意自然数,且$n\geqslant2$),有无上述类似的变形?如果有,写出用$a$($a$为任意自然数,且$a\geqslant2$)表示的等式,并给出验证.
$\sqrt{2+\dfrac{2}{3}}= 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$,验证:$\sqrt{2+\dfrac{2}{3}}= \sqrt{\dfrac{8}{3}}= \sqrt{\dfrac{2^{2}×2}{3}}= 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$;
$\sqrt{3+\dfrac{3}{8}}= 3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$,验证:$\sqrt{3+\dfrac{3}{8}}= \sqrt{\dfrac{27}{8}}= \sqrt{\dfrac{3^{2}×3}{8}}= 3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$.
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想$\sqrt{4+\dfrac{4}{15}}$的变形结果并进行验证.
(2)针对上述各式反映的规律,写出用$a$($a$为任意自然数,且$a\geqslant2$)表示的等式,并给出验证.
(3)针对三次根式及$n$次根式($n$为任意自然数,且$n\geqslant2$),有无上述类似的变形?如果有,写出用$a$($a$为任意自然数,且$a\geqslant2$)表示的等式,并给出验证.
答案：
解:
(1)$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$,验证:$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{\frac{4^{2}×4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$.
(2)$\sqrt{a+\frac{a}{a^{2}-1}}=a\sqrt{\frac{a}{a^{2}-1}}$(a 为任意自然数,且$a\geqslant$2),验证:$\sqrt{a+\frac{a}{a^{2}-1}}=\sqrt{\frac{a^{3}-a+a}{a^{2}-1}}=\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{2}-1}}=a\sqrt{\frac{a}{a^{2}-1}}$.
(3)$\sqrt[3]{a+\frac{a}{a^{3}-1}}=a\sqrt[3]{\frac{a}{a^{3}-1}}$,$\sqrt[n]{a+\frac{a}{a^{n}-1}}=a\sqrt[n]{\frac{a}{a^{n}-1}}$(a 为任意自然数,且$a\geqslant2$).验证:$\sqrt[3]{a+\frac{a}{a^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{a^{4}-a+a}{a^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{a^{4}}{a^{3}-1}}=a\sqrt[3]{\frac{a}{a^{3}-1}}$,$\sqrt[n]{a+\frac{a}{a^{n}-1}}=\sqrt[n]{\frac{a^{n+1}-a+a}{a^{n}-1}}=\sqrt[n]{\frac{a^{n+1}}{a^{n}-1}}=a\sqrt[n]{\frac{a}{a^{n}-1}}$(a 为任意自然数,且$a\geqslant2$).
(1)$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$,验证:$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{\frac{4^{2}×4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$.
(2)$\sqrt{a+\frac{a}{a^{2}-1}}=a\sqrt{\frac{a}{a^{2}-1}}$(a 为任意自然数,且$a\geqslant$2),验证:$\sqrt{a+\frac{a}{a^{2}-1}}=\sqrt{\frac{a^{3}-a+a}{a^{2}-1}}=\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{2}-1}}=a\sqrt{\frac{a}{a^{2}-1}}$.
(3)$\sqrt[3]{a+\frac{a}{a^{3}-1}}=a\sqrt[3]{\frac{a}{a^{3}-1}}$,$\sqrt[n]{a+\frac{a}{a^{n}-1}}=a\sqrt[n]{\frac{a}{a^{n}-1}}$(a 为任意自然数,且$a\geqslant2$).验证:$\sqrt[3]{a+\frac{a}{a^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{a^{4}-a+a}{a^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{a^{4}}{a^{3}-1}}=a\sqrt[3]{\frac{a}{a^{3}-1}}$,$\sqrt[n]{a+\frac{a}{a^{n}-1}}=\sqrt[n]{\frac{a^{n+1}-a+a}{a^{n}-1}}=\sqrt[n]{\frac{a^{n+1}}{a^{n}-1}}=a\sqrt[n]{\frac{a}{a^{n}-1}}$(a 为任意自然数,且$a\geqslant2$).
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