《2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版》

1. 如图,四边形ABCD是一个正方形,E是BC延长线上一点,且AC= EC,连接AE,则∠DAE的度数是 ( )

A.30°
B.20°
C.22.5°
D.15°

答案： C

2. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：

a. 两组对边分别相等；
b. 一组对边平行且相等；
c. 一组邻边相等；
d. 一个角是直角.
顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c,则正确的是 ( )

A.仅①
B.仅③
C.①②
D.②③

答案： C

3. 如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M. 若BE= DF= 1,则DM的长度为______.

答案： $\frac{12}{5}$

4. 如图,在四边形ABFC中,∠ACB= 90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF//AE.
(1)求证：四边形BECF是菱形.
(2)当∠A满足什么条件时,四边形BECF是正方形？请说明理由.

答案：
(1)证明：
∵EF 垂直平分 BC，
∴BF=FC，BE=EC.
∴∠FCB=∠FBC.
∵CF//AE，
∴∠FCB=∠CBE.
∴∠FBC=∠CBE.
∵∠FDB=∠EDB，BD=BD，
∴△FDB≌△EDB(ASA).
∴BF=BE.
∴BE=EC=FC=BF.
∴四边形 BECF 是菱形.
(2)解：当∠A=45°时，四边形 BECF 是正方形.理由如下：
∵四边形 BECF 是菱形，
∴∠FBE=2∠EBC.
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=90°-∠A=45°.
∴∠FBE=90°.
∴菱形 BECF 是正方形.即当∠A=45°时，四边形 BECF 是正方形.