《2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版》

例1 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-4x+2 = 0 $ 的两个根,求下列各式的值：
(1) $ x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2} $； (2) $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $。
导析：先根据根与系数的关系求得 $ x_{1}+x_{2} $ 和 $ x_{1}x_{2} $ 的值,然后将所求代数式变形为含有 $ x_{1}+x_{2},x_{1}x_{2} $ 的形式,最后代入求得各式的值。
解答：$ \because x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-4x+2 = 0 $ 的两根,$ \therefore x_{1}+x_{2}= 4,x_{1}x_{2}= 2 $。
(1) $ x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}= x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})= 2×4 = 8 $；
(2) $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= \frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}= \frac{4}{2}= 2 $。

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。根据题目，已知$x_1$和$x_2$是方程$x^2 - 4x + 2 = 0$的两个根，需要求的是两个代数式的值。
首先，利用一元二次方程的根与系数的关系，可以得到$x_1 + x_2 = 4$和$x_1x_2 = 2$。
然后，观察所求的两个代数式，可以发现它们都可以变形为含有$x_1 + x_2$和$x_1x_2$的形式。
对于第一个代数式$x_1^2x_2 + x_1x_2^2$，可以提取公因式$x_1x_2$，得到$x_1x_2(x_1 + x_2)$，然后代入$x_1 + x_2 = 4$和$x_1x_2 = 2$，即可求出结果。
对于第二个代数式$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$，可以先通分，得到$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$，然后代入$x_1 + x_2 = 4$和$x_1x_2 = 2$，即可求出结果。
【答案】：
(1) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2) = 2 × 4 = 8$；
(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{4}{2} = 2$。

1. 已知方程 $ 2x^{2}+6x-3 = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $,则 $ x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2} $ 的值等于 ( )

A.$ \frac{3}{2} $
B.$ -\frac{3}{2} $
C.$ \frac{9}{2} $
D.$ -\frac{9}{2} $

答案： D

例2 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+bx-1 = 0 $ 的两个根,且 $ x_{1}+x_{2}= 4 $,则 $ b = $ ( )

A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ -4 $
D.$ 4 $
导析：根据一元二次方程的根与系数的关系,建立方程解答。
解答：C

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系。
根据一元二次方程的根与系数的关系，对于方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的和是 $-\frac{b}{a}$。
对于给定的方程 $x^{2} + bx - 1 = 0$，其中 $a = 1$。
已知 $x_{1} + x_{2} = 4$，根据根与系数的关系，我们有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{1} = -b$
将已知的 $x_{1} + x_{2} = 4$ 代入上式，得到：
$-b = 4$
解得：
$b = -4$
【答案】：
C

2. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+ax-2b = 0 $ 的两实数根,且 $ x_{1}+x_{2}= -2,x_{1}x_{2}= 1 $,则 $ b^{a} $ 的值是 ( )

A.$ \frac{1}{4} $
B.$ -\frac{1}{4} $
C.$ 4 $
D.$ -1 $

答案： A

1. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-4x+1 = 0 $ 的两个实数根,则 $ x_{1}x_{2} $ 等于 ( )

A.$ -4 $
B.$ -1 $
C.$ 1 $
D.$ 4 $

答案： C

2. 若 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ 2x^{2}+10x-16 = 0 $ 的两个根,则 $ x_{1}+x_{2} $ 的值是 ( )

A.$ -10 $
B.$ 10 $
C.$ -5 $
D.$ 5 $

答案： C

3. 已知一元二次方程的两根分别是 $ 2 $ 和 $ -3 $,则这个一元二次方程是 ( )

A.$ x^{2}-6x+8 = 0 $
B.$ x^{2}+2x-3 = 0 $
C.$ x^{2}-x-6 = 0 $
D.$ x^{2}+x-6 = 0 $

答案： D

4. 已知 $ m,n $ 是一元二次方程 $ x^{2}+3x-1 = 0 $ 的两个根,则 $ (m+1)(n+1) $ 的值为 ( )

A.$ -3 $
B.$ 3 $
C.$ 1 $
D.$ -1 $

答案： A

5. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+mx-8 = 0 $ 的一个实数根为 $ 2 $,则另一实数根为______。

答案： -4

6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(2k+1)x+k^{2}+1 = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x_{1},x_{2} $。
(1) 求 $ k $ 的取值范围；
(2) 若 $ x_{1}x_{2}= 5 $,求 $ k $ 的值。

答案： 6.解:
(1)根据题意得Δ=(2k+1)²-4(k²+1)＞0,解得k＞$\frac{3}{4}$.
(2)根据题意,得x₁x₂=k²+1.
∵x₁x₂=5,
∴k²+1=5,解得k₁=-2,k₂=2.
∵k＞$\frac{3}{4}$,
∴k=2.