《2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版》

例1 在平面直角坐标系内,画出二次函数$y = x^{2}+1$的图象,并根据图象回答下列问题：
(1)函数$y = x^{2}+1$,当$x$____时,$y随x$的增大而减小；当$x$____时,函数$y$有最小值,最小值是____；其图象与$y$轴交点的坐标是____。
(2)试写出抛物线$y = -x^{2}-1$的开口方向、对称轴和顶点坐标。
解答：列表：
| $x$ | …$$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | …$$ |
| $y = x^{2}+1$ | …$$ | $5$ | $2$ | $1$ | $2$ | $5$ | …$$ |
函数$y = x^{2}+1$的图象如图所示：

(1)$＜0$ $=0$ $1$ $(0,1)$
(2)抛物线$y = -x^{2}-1$的开口向下,对称轴是$y$轴,顶点坐标是$(0,-1)$

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数$y = ax^{2}+k$的图象和性质。
首先，我们可以通过列表、描点、连线的方法画出二次函数$y = x^{2}+1$的图象。
然后，根据图象，我们可以回答以下问题：
（1）对于函数$y = x^{2}+1$，因为$a=1\gt0$，
所以其图象是一个开口向上的抛物线，对称轴为$y$轴，顶点为$(0,1)$。
因此，当$x \lt 0$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x = 0$时，函数$y$有最小值，最小值是$1$；
其图象与$y$轴交点的坐标是$(0,1)$。
（2）对于抛物线$y = -x^{2}-1$，因为$a=-1\lt0$，
所以其图象是一个开口向下的抛物线，对称轴为$y$轴，顶点为$(0,-1)$。
【答案】：
(1)$＜0$；$=0$；$1$；$(0,1)$
(2)抛物线$y = -x^{2}-1$的开口向下，对称轴是$y$轴，顶点坐标是$(0,-1)$

1. 关于二次函数$y = -2x^{2}+3$的下列结论,正确的是( )

A.它的开口方向是向上
B.当$x＜-1$时,$y随x$的增大而增大
C.它的顶点坐标是$(-2,3)$
D.当$x = 0$时,$y取最小值3$

答案： B

例2 把二次函数$y = -3x^{2}的图象向上平移5$个单位长度后所得的图象的函数解析式是( )

A.$y = -3(x - 5)^{2}$
B.$y = -3(x + 5)^{2}$
C.$y = -3x^{2}+5$
D.$y = -3x^{2}-5$
导析：根据“上加下减”的法则解答即可。
解答：C

答案： 【解析】：
本题考查的是二次函数图象的平移性质。对于函数$y = ax^{2} + k$，当图象向上平移b个单位时，新的函数解析式变为$y = ax^{2} + k + b$；当图象向下平移b个单位时，新的函数解析式变为$y = ax^{2} + k - b$。这是基于“上加下减”的法则，即在上加，向下减。
对于给定的函数$y = -3x^{2}$，其图象向上平移5个单位后，新的函数解析式应为$y = -3x^{2} + 5$。
【答案】：
C

2. 将抛物线$y = 2x^{2}平移后得到抛物线y = 2x^{2}+1$,则平移方式为( )

A.向左平移$1$个单位长度
B.向右平移$1$个单位长度
C.向上平移$1$个单位长度
D.向下平移$1$个单位长度

答案： C