《2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版》

例1 用因式分解法解下列方程：
(1)$3x(2x + 1) = 4x + 2$；
(2)$(3x + 2)(x - 3) = -x - 9$。
导析：(1)先移项,把方程的右边化为0,然后提取公因式$(2x + 1)$,再分解因式；(2)先整理方程,然后根据完全平方公式变形,再分解因式。
解答：(1)移项,得$3x(2x + 1) - (4x + 2) = 0$。因式分解,得$(2x + 1)(3x - 2) = 0$。于是得$2x + 1 = 0或3x - 2 = 0$,解得$x_1 = -\frac{1}{2}$,$x_2 = \frac{2}{3}$。
(2)整理,得$x^2 - 2x + 1 = 0$,$\therefore (x - 1)^2 = 0$。$\therefore x - 1 = 0$。$\therefore x = 1$,即$x_1 = x_2 = 1$。
方法归纳：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①把方程右边化为0；②将方程左边分解成两个一次因式的乘积；③令每个因式分别等于0；④解这两个一次方程,它们的解就是原方程的解。

答案： 【解析】：
本题主要考查用因式分解法解一元二次方程。
对于第一个方程 $3x(2x + 1) = 4x + 2$，需要先移项，使方程右边为0，然后提取公因式 $(2x + 1)$ 进行因式分解。
对于第二个方程 $(3x + 2)(x - 3) = -x - 9$，需要先对方程进行整理，然后利用完全平方公式进行因式分解。
【答案】：
(1) 解：
移项，得 $3x(2x + 1) - (4x + 2) = 0$，
因式分解，得 $(2x + 1)(3x - 2) = 0$，
于是得 $2x + 1 = 0$ 或 $3x - 2 = 0$，
解得 $x_1 = -\frac{1}{2}$，$x_2 = \frac{2}{3}$。
(2) 解：
整理，得 $x^2 - 2x + 1 = 0$，
$\therefore (x - 1)^2 = 0$，
$\therefore x - 1 = 0$，
$\therefore x = 1$，
即 $x_1 = x_2 = 1$。

用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 - \sqrt{2}x = 0$；
(2)$(x - 2)^2 - 4 = 0$；
(3)$2x^2 + 4x = -2$。

答案： 解:
(1)原方程可变形为x(x-√2)=0,
∴x=0或x-√2=0,
∴x₁=0,x₂=√2.
(2)原方程可变形为(x-2)²-2²=0,
∴(x-2+2)·(x-2-2)=0.
∴x(x-4)=0.解得x₁=0,x₂=4.
(3)原方程可变形为2(x+1)²=0,
∴x₁=x₂=-1.

例2 用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 + 2x - 323 = 0$；
(2)$7x(3 - x) = 2(x - 3)$。
导析：(1)移项后,方程左右两边加上一次项系数一半的平方,可观察$324 = 18^2$,所以可用配方法解方程最合适；(2)观察方程中$3 - x与x - 3$互为相反数,移项后可提公因式,用因式分解法解方程最合适。
解答：(1)移项,得$x^2 + 2x = 323$。配方,得$x^2 + 2x + 1^2 = 323 + 1^2$,$(x + 1)^2 = 324$。由此可得$x + 1 = \pm 18$,解得$x_1 = -19$,$x_2 = 17$。
(2)移项,得$7x(3 - x) + 2(3 - x) = 0$。因式分解,得$(3 - x)(7x + 2) = 0$。于是得$3 - x = 0或7x + 2 = 0$,解得$x_1 = 3$,$x_2 = -\frac{2}{7}$。
方法归纳：解一元二次方程时,注意根据方程的特点选择最优方法：先考虑能否用直接开平方法、因式分解法,再考虑用配方法、公式法,配方法与公式法适用于所有一元二次方程。

答案：
(1)解：移项，得$x^2 + 2x = 323$
配方，得$x^2 + 2x + 1^2 = 323 + 1^2$
即$(x + 1)^2 = 324$
开平方，得$x + 1 = \pm 18$
解得$x_1 = -19$，$x_2 = 17$
(2)解：移项，得$7x(3 - x) + 2(3 - x) = 0$
因式分解，得$(3 - x)(7x + 2) = 0$
于是得$3 - x = 0$或$7x + 2 = 0$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -\frac{2}{7}$