《2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版》

例 已知抛物线$y= ax^{2}(a＞0)经过A(-1,1)$,$B(1,m)$。
(1)求$a和m$的值；
(2)写出抛物线的顶点坐标和对称轴,并在如图所示的平面直角坐标系中画出此抛物线；
(3)当$x$取何值时,$y随x$的增大而增大？

导析：(1)根据待定系数法求得$a$的值,进而求得$m$的值；(2)根据解析式求得顶点坐标和对称轴,再画出函数图象即可；(3)根据图象即可求得。
解答：(1)$\because抛物线y= ax^{2}(a＞0)经过A(-1,1)$,$B(1,m)$,$\therefore 1= a× (-1)^{2}$,$m= a$。$\therefore a= 1$,$m= 1$。

(2)$\because a= 1$,$\therefore y= x^{2}$。
$\therefore$抛物线开口向上,对称轴为直线$x= 0$,顶点坐标为$(0,0)$,画出函数图象如图所示。
(3)当$x＞0$时,$y随x$的增大而增大。

答案：
(1)
∵抛物线$y = ax^2(a＞0)$经过$A(-1,1)$，$B(1,m)$，
∴$1 = a×(-1)^2$，解得$a = 1$；
将$x = 1$代入$y=x^2$，得$m = 1^2=1$。
∴$a = 1$，$m = 1$。
(2)
∵$a = 1$，
∴抛物线解析式为$y=x^2$。
顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为直线$x = 0$。
（画图略，需在给定坐标系中描点$(0,0)$，$(-1,1)$，$(1,1)$，$(-2,4)$，$(2,4)$等，用平滑曲线连接）
(3)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。

抛物线$y= -3x^{2}$不具有的性质是 ( )

A.开口向下
B.对称轴是$y$轴
C.当$x＞0$时,$y随x$的增大而减小
D.函数有最小值

答案： D

1. 抛物线$y= -\frac{1}{3}x^{2}$的顶点坐标是 ( )

A.$(0,1)$
B.$(0,0)$
C.$(1,1)$
D.$(-1,-1)$

答案： B

2. 若二次函数$y= (a-2)x^{2}$的图象开口向上,则$a$的取值范围是 ( )

A.$a＞2$
B.$a\geqslant 2$
C.$a＜2$
D.$a\leqslant 2$

答案： A

3. 已知二次函数$y= 5x^{2}$,当$x＞2$时,$y随x$的增大而______(填“增大”或“减小”)。

答案： 增大

4. [代入法]已知抛物线$y= -\frac{1}{4}x^{2}上的两点A(1,y_{1})$,$B(2,y_{2})$,则$y_{1}与y_{2}$的大小关系是______(用“$＞$”连接)。

答案： $y_{1}＞y_{2}$

5. 已知二次函数$y= ax^{2}$,当$x= 3$时,$y= 3$。
(1)求当$x= -2$时,$y$的值；
(2)写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向。

答案： 解:
(1)把 $ x=3,y=3 $ 代入 $ y=ax^{2} $,得 $ a\cdot 3^{2}=3 $,解得 $ a=\frac{1}{3} $,
∴这个二次函数的解析式为 $ y=\frac{1}{3}x^{2} $.当 $ x=-2 $ 时,$ y=\frac{1}{3}× (-2)^{2}=\frac{4}{3} $.
(2)
∵$ y=\frac{1}{3}x^{2} $,$ a=\frac{1}{3}＞0 $,
∴它的图象开口向上,对称轴是 y 轴,顶点坐标是$ (0,0) $.