《2025年时习之暑假衔接八年级数学人教版》

例 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为$(-2,0)$,点E在边CD上.将$\triangle BCE$沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为$(0,6)$,则点E的坐标为______.

导析:根据题意可知$AB= BC= BF$.设$OB= x$,由点A与点F的坐标,可得$OF= 6$,$BF= 2+x$.在$Rt\triangle OBF$中,利用勾股定理,列方程求出x,同理可求出EF的长,从而得出点E的坐标.
解答:$(3,10)$

答案： 解：设正方形边长为 $ a $，点 $ B $ 的坐标为 $ (b,0) $。
∵ 点 $ A(-2,0) $，$ AB $ 在 $ x $ 轴上，
∴ $ AB = b - (-2) = b + 2 $，即 $ a = b + 2 $。
由折叠性质得 $ BF = BC = a $，$ F(0,6) $。
在 $ Rt\triangle OBF $ 中，$ OB = b $，$ OF = 6 $，
∴ $ BF^2 = OB^2 + OF^2 $，即 $ a^2 = b^2 + 6^2 $。
联立 $ a = b + 2 $，得 $ (b + 2)^2 = b^2 + 36 $，
解得 $ b = 8 $，则 $ a = 10 $，
∴ 点 $ C(8,10) $，$ D(-2,10) $。
设 $ E(m,10) $，由折叠得 $ EF = EC = 8 - m $。
在 $ Rt\triangle EOF $ 中，$ OE = m $，$ OF = 6 $，
∴ $ EF^2 = OE^2 + OF^2 $，即 $ (8 - m)^2 = m^2 + 6^2 $，
解得 $ m = 3 $。
∴ 点 $ E $ 的坐标为 $ (3,10) $。
答案：$(3,10)$

1.如图,在$□ ABCD$中,E为边CD上一点,将$\triangle ADE$沿AE折叠至$\triangle AD'E$处,$AD'$与CE交于点F.若$∠B= 52^{\circ}$,$∠DAE= 20^{\circ}$,则$∠AED'$的度数为( )

A.$110^{\circ}$
B.$108^{\circ}$
C.$105^{\circ}$
D.$100^{\circ}$

答案： B

2.如图,已知矩形ABCD中,$AB= 3$,$AD= 9$,将此矩形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则AE的长为( )

A.$\sqrt{3}$
B.4
C.$4\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$

答案： B

3.如图,在菱形ABCD中,$∠BAD= 60^{\circ}$,点E在边BC上,将$\triangle ABE$沿直线AE翻折$180^{\circ}$,得到$\triangle AB'E$,点B的对应点是点$B'$.若$AB'⊥BD$,$BE= 2$,则$BB'$的长是______.

答案： 2√2

4.如图,在四边形纸片ABCD中,$∠B= ∠D= 90^{\circ}$,点E,F分别在边BC,CD上,将AB,AD分别沿AE,AF折叠,点B,D恰好都和点G重合,$∠EAF= 45^{\circ}$.求证:四边形ABCD是正方形.

答案： 证明:由题意得∠BAE=∠EAG,∠DAF=∠FAG,
∴∠BAD=2∠EAF=2×45°=90°.又
∵∠B=∠D=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
∵AB=AG,AD=AG,
∴AB=AD.
∴四边形ABCD是正方形.

5.如图,矩形纸片ABCD中,E为BC的中点,连接AE,将$\triangle ABE$沿AE折叠得到$\triangle AFE$,连接CF.若$AB= 4$,$BC= 6$,求CF的长.

答案： 解:连接BF交AE于点O.
∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE,
∴AE垂直平分BF.
∴OB=OF.
∵E为BC的中点,
∴BE=CE=3.
∴CF=2OE.在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=√(AB²+BE²)=√(4²+3²)=5.易知BO=(AB·BE)/AE=(4×3)/5=12/5.在Rt△BOE中,由勾股定理得OE=√(BE²-BO²)=√(3²-(12/5)²)=9/5.
∴CF=18/5.