《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

16. 已知最简二次根式$\sqrt [2a-b]{3a+b-1}与二次根式\sqrt {28}$可合并.
(1) 求实数a,b的值;
(2) 求这两个二次根式的和、差、积、商.

答案：
(1) $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$, 根据题意得$\begin{cases}2a - b = 2,\\3a + b - 1 = 7,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 2.\end{cases}$ $\therefore$ 实数$a,b$的值分别为$2,2$
(2) 把$a = 2,b = 2$代入$\sqrt[2a - b]{3a + b - 1}$得$\sqrt{7},\therefore\sqrt{7}+\sqrt{28}=\sqrt{7}+2\sqrt{7}=3\sqrt{7};\sqrt{7}-\sqrt{28}=\sqrt{7}-2\sqrt{7}=-\sqrt{7}$(或$2\sqrt{7}-\sqrt{7}=\sqrt{7}$);$\sqrt{7}\times\sqrt{28}=\sqrt{7}\times2\sqrt{7}=14;\sqrt{7}\div\sqrt{28}=\sqrt{7}\div2\sqrt{7}=\frac{1}{2}$(或$2\sqrt{7}\div\sqrt{7}=2$)

17. 如图,已知等腰三角形ABC中,$AB= AC$,D是BC边上的一点,$DE⊥AB,DF⊥AC$,点E,F分别为垂足.$DE+DF= 2\sqrt {2},△ABC的面积为3\sqrt {2}+2\sqrt {6}$,求AB的长.

答案： 连接$AD,S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF=\frac{1}{2}AB(DE + DF)$,$\because DE + DF = 2\sqrt{2},\therefore\frac{1}{2}AB\times2\sqrt{2}=3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$,$\therefore AB=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3 + 2\sqrt{3}$

18. 观察下列式子及其验证过程:
$2\sqrt {\frac {2}{3}}= \sqrt {2+\frac {2}{3}}$.验证:$2\sqrt {\frac {2}{3}}= \sqrt {\frac {2^{3}}{3}}= \sqrt {\frac {(2^{3}-2)+2}{2^{2}-1}}= \sqrt {\frac {2(2^{2}-1)+2}{2^{2}-1}}= \sqrt {2+\frac {2}{3}}$.
(1) 按照上述等式及其验证过程的基本思路,猜想$3\sqrt {\frac {3}{8}}$的变形结果并进行验证;
(2) 根据上面的规律,写出用n($n≥2$且n为整数)表示的等式,并证明.

答案：
(1) 猜想:$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$. 验证:$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3^{3}}{8}}=\sqrt{\frac{(3^{3}-3)+3}{3^{2}-1}}=\sqrt{\frac{3(3^{2}-1)+3}{3^{2}-1}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$
(2) $n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}(n\geq2$且$n$为整数). 证明:$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{(n^{3}-n)+n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)+n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}$