《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

16. 如图,在$//ogram ABCD$中,过点 D 作$DE⊥AB$于点 E,点 F 在 CD 上,$CF= AE$,连接 BF,AF.
(1) 求证:四边形 BFDE 是矩形;
(2) 若$AD= DF$,求证:AF 平分$∠BAD$.

答案：
(1)
∵四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore AB=CD,AB// CD$,即$BE// DF,\because CF=AE,\therefore DF=BE,\therefore $四边形 BFDE 是平行四边形,$\because DE⊥AB,\therefore ∠DEB=90^{\circ },\therefore $四边形 BFDE 是矩形
(2)由
(1)可知$AB// CD,\therefore ∠BAF=∠AFD,\because AD=DF,\therefore ∠DAF=∠AFD,\therefore ∠BAF=∠DAF$,即 AF 平分$∠BAD$

17. 如图,在矩形 ABCD 中,$AB= 8,AD= 6$,点 O 是对角线 BD 的中点,过点 O 的直线分别交 AB,CD 边于点 E,F.
(1) 求证:四边形 DEBF 是平行四边形;
(2) 当 BD 平分$∠EBF$时,试判断 EF 与 BD 的位置关系.

答案：
(1)
∵四边形 ABCD 是矩形,$\therefore AB// CD,\therefore ∠DFO=∠BEO$,又因为$∠DOF=∠BOE,OD=OB,\therefore △DOF\cong △BOE(AAS),\therefore DF=BE$,又因为$DF// BE,\therefore $四边形 DEBF 是平行四边形
(2)$EF⊥BD$.理由:
∵BD 平分$∠EBF,\therefore ∠FBD=∠EBD$,在$//ogram DEBF$中,$DF// BE,\therefore ∠FDB=∠EBD,\therefore ∠FBD=∠FDB,\therefore FD=FB$,又$\because OD=OB,\therefore EF⊥BD$