《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

1.如图,有一块四边形草坪,$∠B= ∠D= 90^{\circ },AB= 24m,BC= 7m,CD= 15m$,试求草坪面积.

答案： 如图，连接 $ AC $，由题意得 $ AC^{2}=AB^{2}+BC^{2} $，$\therefore AC^{2}=625$，$\therefore AC = 25m$，又 $\because AD^{2}+DC^{2}=AC^{2}$，$\therefore AD = 20m$，$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC+\frac{1}{2}AD\cdot DC = 234m^{2}$

2.如图,在等腰直角三角形 ABC 的斜边上取异于 B,C 的两点 E,F,使$∠EAF= 45^{\circ }$,求证:以EF,BE,CF 为边的三角形是直角三角形.

答案： 如图，把 $\triangle ACF$ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $，得到 $\triangle ABG$，连接 $ EG $，则 $\triangle ACF\cong\triangle ABG$，$\therefore AG = AF$，$BG = CF$，$\angle ABG=\angle ACF = 45^{\circ}$，$\therefore\angle GBE = 90^{\circ}$，$\because\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle GAF = 90^{\circ}$，$\therefore\angle GAE=\angle EAF = 45^{\circ}$，在 $\triangle AEG$ 和 $\triangle AEF$ 中，$\left\{\begin{array}{l}AG = AF,\\\angle GAE=\angle EAF,\\AE = AE,\end{array}\right.$ $\therefore\triangle AEG\cong\triangle AEF(SAS)$，$\therefore EG = EF$，又 $\because\angle GBE = 90^{\circ}$，$\therefore BE^{2}+BG^{2}=EG^{2}$，即 $ BE^{2}+CF^{2}=EF^{2} $，$\therefore$ 以 $ EF $，$ BE $，$ CF $ 为边的三角形是直角三角形

3.如图,在梯形纸片 ABCD 中,$AD// BC,∠A= 90^{\circ },∠C= 30^{\circ }$,折叠纸片使 BC 经过点 D,点C 落在点 E 处,BF 是折痕,且$BF= CF= 8$.求 AB 的长.

答案： $\because BF = CF = 8$，$\angle C = 30^{\circ}$，$\therefore\angle FBC=\angle C = 30^{\circ}$，$\therefore\angle DFB = 60^{\circ}$，由题意易知 $ BE $ 与 $ BC $ 关于直线 $ BF $ 对称，$\therefore\angle DBF=\angle FBC = 30^{\circ}$，$\therefore\angle BDC = 90^{\circ}$，$\therefore DF=\frac{1}{2}BF = 4$，$\therefore BD=\sqrt{BF^{2}-DF^{2}}=\sqrt{64 - 16}=4\sqrt{3}$，$\because\angle A = 90^{\circ}$，$AD// BC$，$\therefore\angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle ABD = 30^{\circ}$，$\therefore AD=\frac{1}{2}BD = 2\sqrt{3}$，$\therefore AB=\sqrt{BD^{2}-AD^{2}}=\sqrt{48 - 12}=6$

4.长方形纸片 ABCD 中,$AD= 4cm,AB= 10cm$,按如图方式折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为 EF,求 DE 的长.

答案： 设 $ DE = xcm $，则 $ BE = DE = x $，$ AE = AB - BE = 10 - x $，在 $ Rt\triangle ADE $ 中，$ DE^{2}=AE^{2}+AD^{2} $，即 $ x^{2}=(10 - x)^{2}+16 $，$\therefore x=\frac{29}{5}cm$