《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

5.如图,在长边形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,将$△ABE$沿 BE 折叠后得到$△GBE$,且点 G在四边形 ABCD 内部,延长 BG 交 DC 于点 F,连接 EF.若点$AB= 6,BC= 8$,求 DF 的长.

答案： 由折叠可知 $ AB = GB $，易证 $ Rt\triangle EGF\cong Rt\triangle EDF $，$\therefore GF = DF $，$\because\angle C = 90^{\circ}$，$AB = CD = BG = 6$，$BC = 8$，$\therefore FC = DC - DF = 6 - DF$，$BF = BG + GF = 6 + DF$，$\because BF^{2}=BC^{2}+CF^{2}$，$\therefore(6 + DF)^{2}=64+(6 - DF)^{2}$，解得 $ DF=\frac{8}{3} $

6.如图,直角三角形纸片的两直角边长分别为 6,8,按如图那样折叠,使点 A 与点 B 重合,折痕为 DE,求$△BDE$的面积.

答案： 设 $ CE = x $，则 $ AE = AC - CE = 8 - x $，$\because$ 折叠点 $ A $ 与点 $ B $ 重合，$\therefore BE = AE = 8 - x $，$BD = AD$，在 $ Rt\triangle BCE $ 中，$\because BC^{2}+CE^{2}=BE^{2}$，$\therefore 6^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$，解得 $ x=\frac{7}{4} $，$\therefore CE=\frac{7}{4}$，$\therefore S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}\times6\times\frac{7}{4}=\frac{21}{4}$，$\therefore S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}\times6\times8-\frac{21}{4}=\frac{75}{4}$，$\because BD = AD$，$\therefore S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABE}=\frac{75}{8}$

7.在$△ABC$中,$AB= 15,AC= 20$,BC 边上的高$AD= 12$,试求 BC 的长.

答案： 当 $ AD $ 在 $\triangle ABC$ 内时，在 $ Rt\triangle ABD $ 中，由勾股定理得 $ BD=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9 $，在 $ Rt\triangle ACD $ 中，由勾股定理得 $ DC=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16 $，$ BC $ 的长为 $ BD + DC = 9 + 16 = 25 $；当 $ AD $ 在 $\triangle ABC$ 外时，$\triangle ABC$ 中，在 $ Rt\triangle ABD $ 中 $ AB = 15 $，$ AD = 12 $，由勾股定理得 $ BD=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9 $，在 $ Rt\triangle ACD $ 中，由勾股定理得 $ DC=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16 $，$ BC = CD - BD = 7 $，综上所述，$ BC $ 的长为 $ 25 $ 或 $ 7 $

8.已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 12,求这个三角形的面积.

答案： 设两腰分别为 $ AB $，$ AC $，底边为 $ BC $，分两种情况进行讨论：① 若腰为 $ 12 $ 时，过点 $ A $ 作 $ AD\perp BC $ 于点 $ D $，则 $ BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times10 = 5 $，在 $ Rt\triangle ABD $ 中，$ AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{12^{2}-5^{2}}=\sqrt{119} $，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times10\times\sqrt{119}=5\sqrt{119} $；② 若腰为 $ 10 $ 时，过点 $ A $ 作 $ AD\perp BC $ 于点 $ D $，则 $ BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times12 = 6 $，在 $ Rt\triangle ABD $ 中，$ AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8 $，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times12\times8 = 48 $，综上所述，这个三角形的面积是 $ 48 $ 或 $ 5\sqrt{119} $

9.如图是一个长方体盒子,其长、宽、高分别为 4,2,9,用一根细线绕侧面绑在点 A,B 处,不计线头,则细线的最短长度为()

A.12
B.15
C.18
D.21

答案： B