《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

10.如图所示,ABCD 是长方形地面,长$AB= 10m$,宽$AD= 5m$,中间竖有一堵砖墙高$MN= 1m$.一只蚂蚁从 A 点爬到 C 点,它必须翻过中间那堵墙,则它至少要走多少米的路程?

答案： 如图所示，将图展开，图形长度增加 $ 2m $，则 $ AB = 10 + 2 = 12(m) $，连接 $ AC $，$\because$ 四边形 $ ABCD $ 是长方形，$ AB = 12m $，宽 $ AD = 5m $，$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13(m) $，$\therefore$ 蚂蚁从 $ A $ 点爬到 $ C $ 点，它至少要走 $ 13m $ 的路程

11.如图 1,在$4×8$的网格纸中,每个小正方形的边长都为 1,动点 P,Q 分别从点 D,A 同时出发向右移动,点 P 的运动速度为每秒 1 个单位,点 Q 的运动速度为每秒 0.5 个单位,当点 P运动到点 C 时,两个点都停止运动,设运动时间为$t(0＜t＜8)$.
(1)请在$4×8$的网格纸图 2 中画出 t 为 6 秒时的线段 PQ,并求其长度;
(2)当 t 为多少时,$△PQB$是以 BP 为底的等腰三角形?

答案：
(1) 如图所示，由勾股定理得 $ PQ=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5 $
(2) 在 $ t $ 秒时，$ P $ 运动了 $ t $ 格，$ Q $ 运动了 $\frac{1}{2}t$ 格，由题意得 $ PQ = BQ $，则 $ PQ^{2}=BQ^{2} $，即 $ (t-\frac{1}{2}t)^{2}+4^{2}=(8-\frac{1}{2}t)^{2} $，解得 $ t = 6 $，答：当 $ t $ 为 $ 6 $ 秒时，$\triangle PQB$ 是以 $ BP $ 为底的等腰三角形

12.(1)如图 1,在等腰三角形 ABC 中,$AB= AC$,点 D 是 BC 的中点,$DE⊥AB$于点 E,$DF⊥AC$于点 F.求证:$DE= DF;$
(2)如图 2,在等腰三角形 ABC 中,$AB= AC= 13,BC= 10$,点 D 是 BC 边上的动点,$DE⊥AB$于点 E,$DF⊥AC$于点 F.请问$DE+DF$的值是否随点 D 位置的变化而变化? 若不变,请直接写出$DE+DF$的值;若变化,请说明理由.

答案：
(1) 连接 $ AD $，$\because AB = AC $，点 $ D $ 是 $ BC $ 边上的中点，$\therefore AD $ 平分 $\angle BAC $，$\because DE $，$ DF $ 分别垂直 $ AB $，$ AC $ 于点 $ E $ 和 $ F $，$\therefore DE = DF $
(2) 不变，连接 $ AD $，$\because AB = AC = 13 $，$ BC = 10 $，$\therefore\triangle ABC $ 底边 $ BC $ 上的高 $=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12 $，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times10\times12 = 60 $，$\because S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD} $，$\therefore\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF = 60 $，$\therefore DE + DF=\frac{120}{13} $