《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

17.如图,在离水面高度为 8 m 的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子 BC 的长为 17 m,此人以 1 m/s 的速度收绳,7 s 后船移动到点 D 的位置,问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的)

答案： 在 $ Rt\triangle ABC $ 中，
∵ $ \angle CAB = 90^{\circ} $，$ BC = 17\text{m} $，$ AC = 8\text{m} $，
∴ $ AB = \sqrt{BC^{2} - AC^{2}} = \sqrt{17^{2} - 8^{2}} = 15(\text{m}) $，
∵此人以 $ 1\text{m/s} $ 的速度收绳，$ 7\text{s} $ 后船移动到点 $ D $ 的位置，
∴ $ CD = 17 - 1 \times 7 = 10(\text{m}) $，
∴ $ AD = \sqrt{CD^{2} - AC^{2}} = \sqrt{100 - 64} = 6(\text{m}) $，
∴ $ BD = AB - AD = 15 - 6 = 9(\text{m}) $。答：船向岸边移动了 $ 9\text{m} $

18.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造,测得两直角边长分别为 6 m,8 m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以 8 m 为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.

答案：
在 $ Rt\triangle ABC $ 中，
∵ $ AC = 8\text{m} $，$ BC = 6\text{m} $，
∴ $ AB = 10\text{m} $，① 如图1，当 $ AB = AD $ 时，$ CD = 6\text{m} $，$ \triangle ABD $ 的周长为 $ 32\text{m} $；② 如图2，当 $ AB = BD $ 时，$ CD = 4\text{m} $，
∴ $ AD = 4\sqrt{5}\text{m} $，$ \triangle ABD $ 的周长是 $ (20 + 4\sqrt{5})\text{m} $；③ 如图3，当 $ DA = DB $ 时，设 $ AD = x $，则 $ CD = x - 6 $，则 $ x^{2} = (x - 6)^{2} + 8^{2} $，解得 $ x = \frac{25}{3} $，
∴ $ \triangle ABD $ 的周长是 $ \frac{80}{3}\text{m} $。综上所述，扩建后的等腰三角形花圃的周长是 $ 32\text{m} $ 或 $ (20 + 4\sqrt{5})\text{m} $ 或 $ \frac{80}{3}\text{m} $
　　 　　

19.第七届国际数学教育大会的会徽主体图案是由图中的一连串直角三角形演化而成的,其中$OA_{1}= A_{1}A_{2}= A_{2}A_{3}= ... =A_{7}A_{8}= 1$.细心观察图形,认真分析下列各式,然后解答问题:
$(\sqrt {1})^{2}+1= 2,S_{1}= \frac {\sqrt {1}}{2};(\sqrt {2})^{2}+1= 3,S_{2}= \frac {\sqrt {2}}{2};(\sqrt {3})^{2}+1= 4,S_{3}= \frac {\sqrt {3}}{2}...$
(1)请用含有 n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律,并计算出$OA_{10}$的长;
(2)求出$S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+... +S_{10}^{2}$的值.

答案：
(1)由题意，得 $ OA_{n} = \sqrt{n} $，$ S_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2} $，$ OA_{10} = \sqrt{10} $
(2) $ S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + \cdots + S_{10}^{2} = (\frac{\sqrt{1}}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + \cdots + (\frac{\sqrt{10}}{2})^{2} = \frac{1 + 2 + 3 + \cdots + 9 + 10}{4} = \frac{55}{4} $