《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

16. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = CD $, $ M $, $ N $, $ P $ 分别是 $ AD $, $ BC $, $ BD $ 的中点, $ \angle ABD = 20^{\circ} $, $ \angle BDC = 70^{\circ} $,求 $ \angle PMN $ 的度数.

答案：
∵ 在四边形ABCD中，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，$\therefore PN$，$PM$分别是$\triangle CDB$与$\triangle DAB$的中位线，$\therefore PM = \frac{1}{2}AB$，$PN = \frac{1}{2}DC$，$PM // AB$，$PN // DC$，$\because AB = CD$，$\therefore PM = PN$，$\therefore \triangle PMN$是等腰三角形，$\because PM // AB$，$PN // DC$，$\therefore \angle MPD = \angle ABD = 20^{\circ}$，$\angle BPN = \angle BDC = 70^{\circ}$，$\therefore \angle MPN = \angle MPD + \angle NPD = 20^{\circ} + (180^{\circ} - 70^{\circ}) = 130^{\circ}$，$\therefore \angle PMN = \frac{180^{\circ} - 130^{\circ}}{2} = 25^{\circ}$

17. (1) 如图①, $ \square ABCD $ 的对角线 $ AC $, $ BD $ 相交于点 $ O $,过点 $ O $ 作直线 $ EF $ 分别交 $ AD $, $ BC $ 于点 $ E $, $ F $. 求证: $ OE = OF $;
(2) 如图②,在 $ \square ABCD $ 中,若过点 $ O $ 的直线与 $ BA $, $ DC $ 的延长线分别交于点 $ E $, $ F $,能得到(1)中的结论吗? 由此你能得到什么样的一般性结论?

答案：
(1)
∵ 四边形ABCD为平行四边形，$\therefore AD // BC$，$OA = OC$。$\therefore \angle EAO = \angle FCO$，$\angle AEO = \angle CFO$。$\therefore \triangle AEO \cong \triangle CFO(AAS)$。$\therefore OE = OF$
(2) 能得到
(1)中的结论。证明如下：
∵ 四边形ABCD为平行四边形，$\therefore AB // CD$，$OA = OC$。$\therefore \angle EAO = \angle FCO$，$\angle AEO = \angle CFO$。$\therefore \triangle AEO \cong \triangle CFO(AAS)$。$\therefore OE = OF$。一般性结论是：过平行四边形对角线的交点O作一条直线与平行四边形相对的两边或其延长线相交于E，F两点，则$OE = OF$

18. 问题: 如图,在 $ \square ABCD $ 中, $ AB = 8 $, $ AD = 5 $, $ \angle DAB $, $ \angle ABC $ 的平分线 $ AE $, $ BF $ 分别与直线 $ CD $ 交于点 $ E $, $ F $,求 $ EF $ 的长.
答案: $ EF = 2 $.
探究: 把“问题”中的条件“$ AB = 8 $, $ AD = 5 $”去掉,其余条件不变,当点 $ C $, $ D $, $ E $, $ F $ 相邻两点间的距离相等时,求 $ \frac{AD}{AB} $ 的值.

答案：
由题可知$DE = AD$，$CF = BC$。当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，分如下三种情况：① 如图1所示，$\because DE = EF = CF$，$\therefore AB = CD = 3DE = 3AD$，$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$；② 如图2所示，$\because DF = FE = CE$，$\therefore AD = DE = 2DF$，$AB = CD = 3DF$，$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$；③ 如图3所示，$\because DF = DC = CE$，$\therefore AD = DE = 2CD = 2AB$，$\therefore \frac{AD}{AB} = 2$。综上所述，$\frac{AD}{AB}$的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$或2