《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

11.如图,在平面直角坐标系中,四边形$ABCD$是菱形,直线$AC的解析式为y = -\frac{1}{2}x + 4$.
(1)求点$B$的坐标;
(2)求直线$AB$的解析式.

答案：
(1)
∵直线AC的解析式为y = - $\frac{1}{2}$x + 4，令y = 0，得x = 8，则C(8,0)；令x = 0，得y = 4，则A(0,4)。设B的坐标为(m,0)，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC，即$\sqrt{m^2 + 4^2}$ = 8 - m，解得m = 3，即B(3,0)。
(2)设直线AB的解析式为y = kx + b，
∵直线AB经过点A(0,4)，B(3,0)，
∴$\begin{cases}3k + b = 0 \\ b = 4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - \frac{4}{3} \\ b = 4 \end{cases}$，
∴直线AB的解析式为y = - $\frac{4}{3}$x + 4。

12.如图,$Rt\triangle AOB的顶点O$与原点重合,直角顶点$A在x$轴上,顶点$B的坐标为(4,3)$,直线$y = -\frac{4}{3}x + 4与x$轴、$y轴分别交于点D,E$,交$OB于点F$.
(1)写出图中的全等三角形及理由;
(2)求$OF$的长.

答案：
(1)△AOB≌△OED。理由：
∵y = - $\frac{4}{3}$x + 4与x轴、y轴分别交于点D，E，
∴D(3,0)，E(0,4)，
∴OD = 3，OE = 4。
∵B(4,3)，
∴OA = 4，AB = 3。在△AOB与△OED中，$\begin{cases}AB = OD \\ \angle OAB = \angle EOD = 90° \\ OA = EO \end{cases}$，
∴△AOB≌△OED(SAS)。
(2)
∵△AOB≌△OED，
∴∠AOB = ∠OED。
∵∠AOB + ∠EOF = 90°，
∴∠OED + ∠EOF = 90°，
∴∠OFE = 90°，
∴OF⊥ED。在Rt△ODE中，ED = $\sqrt{OE^2 + OD^2}$ = $\sqrt{4^2 + 3^2}$ = 5。
∵S△ODE = $\frac{1}{2}$OD·OE = $\frac{1}{2}$DE·OF = 6，
∴OF = $\frac{12}{5}$。

13.已知一次函数$y = -2x + b的图象过点(2,1)$.
(1)求一次函数的解析式,并判断点$P(1,3)$是否在该函数的图象上?
(2)作出该函数图象,观察图象直接回答:
$x$取何值时,$-2x + b ＜ 0$?$x$取何值时,$-2x + b ＞ 3$?
(3)在坐标轴上是否存在一点$Q$,使$\triangle OPQ的面积等于6$?若存在,请写出$Q$点的坐标;若不存在,也请说明理由.

答案：

(1)把(2,1)代入y = - 2x + b得 - 2×2 + b = 1，解得b = 5，所以一次函数的解析式为y = - 2x + 5。当x = 1时，y = - 2x + 5 = - 2 + 5 = 3，所以点P(1,3)在该函数的图象上。
(2)如图，直线y = - 2x + 5与x轴的交点坐标为(2.5,0)，当x＞2.5时， - 2x + b＜0；当x＜1时， - 2x + b＞3。

(3)存在。当Q在x轴上，设Q(t,0)，
∵△OPQ的面积等于6，
∴$\frac{1}{2}$·|t|·3 = 6，解得t = ±4，
∴此时Q点坐标为(4,0)或(-4,0)；当Q在y轴上，设Q(0,m)，
∵△OPQ的面积等于6，
∴$\frac{1}{2}$·|m|·1 = 6，解得m = ±12，
∴此时Q点坐标为(0,12)或(0,-12)。综上所述，点Q的坐标为(4,0)或(-4,0)或(0,12)或(0,-12)。