《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

13.如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y= kx+b的图象经过点A(-2,6)$,且与$x轴相交于点B$,与正比例函数$y= 3x的图象相交于点C$,点$C$的横坐标为1.
(1)求$k,b$的值;
(2)若点$D在y$轴负半轴上,且满足$S_{\triangle COD}= \frac {1}{3}S_{\triangle BOC}$,求点$D$的坐标.

答案：
(1) 当x = 1时,y = 3x = 3,
∴点C的坐标为(1,3).将A( - 2,6),C(1,3)代入y = kx + b,得$\begin{cases} -2k + b = 6, \\ k + b = 3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = -1 \\ b = 4 \end{cases}$
(2) 由
(1)知，直线AB的解析式为y = -x + 4,当y = 0时,有 - x + 4 = 0,解得x = 4,
∴点B的坐标为(4,0).设点D的坐标为(0,m)(m＜0),
∵S△COD = $\frac{1}{3}$S△BOC,即 - $\frac{1}{2}$m×1 = $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×3,解得m = - 4,
∴点D的坐标为(0, - 4)

14.如图,直线$y= -\frac {2}{3}x+2与x$轴、$y轴分别交于点A,B$,以线段$AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,∠BAC= 90^{\circ }$,且点$P(1,a)$为坐标系中的一个动点.
(1)求$\triangle ABC的面积S_{\triangle ABC}$;
(2)请说明不论$a$取任何实数,$\triangle BOP$的面积是一个常数;
(3)要使得$\triangle ABC和\triangle ABP$的面积相等,求实数$a$的值.

答案：
(1) 令y = -$\frac{2}{3}$x + 2中x = 0,得点B坐标为(0,2);令y = 0,得点A坐标为(3,0).由勾股定理可得AB = $\sqrt{13}$,所以S△ABC = 6.5
(2) 不论a取任何实数, △BOP都能以BO = 2为底,点P到y轴的距离1为高,所以S△BOP = 1,是一个常数
(3) 当点P在第四象限时,因为S△ABO = 3,S△APO = -$\frac{3}{2}$a,S△BOP = 1,所以S△ABP = S△ABO + S△APO - S△BOP = S△ABC,即3 - $\frac{3}{2}$a - 1 = $\frac{13}{2}$,解得a = - 3;当点P在第一象限时,
∵S△ABO = 3,S△APO = $\frac{3}{2}$a,S△BOP = 1,
∴S△ABP = S△BOP + S△AOP - S△ABO = S△ABC,即1 + $\frac{3}{2}$a - 3 = $\frac{13}{2}$,解得a = $\frac{17}{3}$,综上可知,a的值为 - 3或$\frac{17}{3}$