《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

9.如图,$\angle MON= 90^{\circ}$,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上,当点B在边ON上运动时,点A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB= 2,BC= 1.求运动过程中,点D到点O的最大距离.

答案：
如图，取 $ AB $ 的中点 $ E $，连接 $ OE $，$ DE $，$ OD $。
∵ $ OD \leq OE + DE $，
∴ 当 $ O $，$ D $，$ E $ 三点共线时，点 $ D $ 到点 $ O $ 的距离最大。
∵ $ \angle AOB = 90^{\circ} $，$ AB = 2 $，$ BC = 1 $，
∴ $ OE = AE = AD = 1 $。在 $ Rt \triangle DAE $ 中，$ DE = \sqrt{AD^{2} + AE^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} $

∴ $ OD $ 的最大值为 $ \sqrt{2} + 1 $

10.如图,在菱形ABCD中,AB= 20,$\angle DAB= 60^{\circ}$,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;

(2)填空:①当AM的值为______时,四边形AMDN是矩形;②当AM的值为______时,四边形AMDN是菱形.

答案：
(1)
∵ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，
∴ $ ND // AM $，
∴ $ \angle NDE = \angle MAE $，$ \angle DNE = \angle AME $，又
∵ 点 $ E $ 是 $ AD $ 边的中点，
∴ $ DE = AE $，
∴ $ \triangle NDE \cong \triangle MAE (AAS) $，
∴ $ ND = MA $，
∴ 四边形 $ AMDN $ 是平行四边形
(2) ① 当 $ AM $ 的值为 $ 10 $ 时，四边形 $ AMDN $ 是矩形；② 当 $ AM $ 的值为 $ 20 $ 时，四边形 $ AMDN $ 是菱形

11.如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与点C,D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.
(1)猜想图1中线段BG,DE的长度关系及所在直线的位置关系,不必证明;
(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α,得到如图2情形.请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立,并证明你的判断.

答案：
(1) $ BG = DE $，$ BG \perp DE $
(2) $ BG = DE $，$ BG \perp DE $ 仍然成立。$ \angle BCD + \angle DCG = \angle ECG + \angle DCG $，即 $ \angle BCG = \angle DCE $，在 $ \triangle BCG $ 与 $ \triangle DCE $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { BC = DC, } \\ { \angle BCG = \angle DCE, } \\ { CG = CE, } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle BCG \cong \triangle DCE (SAS) $，
∴ $ \angle GBC = \angle EDC $，$ BG = DE $，
∵ $ \angle BHC = \angle DHG $，
∴ $ \angle BCD = \angle DOB = 90^{\circ} $，即 $ BG \perp DE $