《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

17. 先阅读,后解答:$\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}-\sqrt {2}}= \frac {\sqrt {3}(\sqrt {3}+\sqrt {2})}{(\sqrt {3}-\sqrt {2})(\sqrt {3}+\sqrt {2})}= \frac {3+\sqrt {6}}{3-2}= 3+\sqrt {6}$,上述解题过程中,$\sqrt {3}-\sqrt {2}与\sqrt {3}+\sqrt {2}$相乘,积不含有二次根式,我们可将这两个式子称为互为有理化因式,上述解题过程也称为分母有理化.
(1)$\sqrt {3}$的有理化因式是____;$\sqrt {5}+2$的有理化因式是____;
(2)将下列式子进行分母有理化:
$\frac {2}{\sqrt {5}}= $____;$\frac {1}{3+\sqrt {6}}= $____;
(3)已知$a= \frac {1}{2+\sqrt {3}},b= 2-\sqrt {3}$,比较a与b的大小关系.

答案：
(1) $ \sqrt{3} $ $ \sqrt{5}-2 $
(2) $ \frac{2\sqrt{5}}{5} $ $ 1-\frac{\sqrt{6}}{3} $
(3) $ \because a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} $， $ \therefore a=b $

18. 小明做数学题时,发现:$\sqrt {1-\frac {1}{2}}= \sqrt {\frac {1}{2}};\sqrt {2-\frac {2}{5}}= 2\sqrt {\frac {2}{5}};\sqrt {3-\frac {3}{10}}= 3\sqrt {\frac {3}{10}};\sqrt {4-\frac {4}{17}}= 4\sqrt {\frac {4}{17}};... $.
(1)按照此规律,写出第6个等式为____;
(2)请写出第$n(n≥1$且n为整数)个等式,并将等式的右边化成最简二次根式;
(3)按此规律,若$\sqrt {a-\frac {8}{b}}= a\sqrt {\frac {8}{b}}$(a,b为正整数),则$a+b$的值为____.

答案：
(1) $ \sqrt{6-\frac{6}{37}}=6\sqrt{\frac{6}{37}} $
(2) 第 $ n(n≥1 $ 且 $ n $ 为整数) 个等式为 $ \sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}} $， $ n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}} $ 化成最简二次根式为 $ \frac{n}{n^{2}+1}\sqrt{n^{3}+n} $
(3) 根据题中的规律，得 $ a=8 $， $ b=8^{2}+1=65 $，则 $ a+b=8+65=73 $，故答案为 73