《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

1.如图,在$\triangle AEF$中,点$D,B分别在边AF和AF$的延长线上,已知$FB= AD,BC// AE$,且$BC= AE$,连接$CD,CF,DE$.求证:四边形$CDEF$是平行四边形.

答案： $\because BC// AE,\therefore ∠A=∠B,\because FB=AD,\therefore FB+DF=AD+DF,\therefore AF=BD$,在$\triangle AEF$和$\triangle BCD$中,$\left\{\begin{array}{l} AE=BC,\\ ∠A=∠B,\\ AF=BD,\end{array}\right. $$\therefore \triangle AEF\cong \triangle BCD(SAS),\therefore CD=EF,∠EFD=∠CDB,\therefore CD// EF$,
∴ 四边形 CDEF 是平行四边形

2.如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },D是BC$的中点,$DE⊥BC,CE// AD$,若$AC= 2,CE= 4$.
(1)求证:四边形$ACED$是平行四边形;
(2)求四边形$ACEB$的周长.

答案：
(1)$\because ∠ACB=90^{\circ },DE⊥BC,\therefore AC// DE$.又$\because CE// AD$,
∴ 四边形 ACED 是平行四边形
(2)
∵ 四边形 ACED 是平行四边形.$\therefore DE=AC=2$.在$Rt\triangle CDE$中,由勾股定理得$CD=\sqrt {CE^{2}-DE^{2}}=2\sqrt {3}.\because D$是 BC 的中点,$\therefore BC=2CD=4\sqrt {3}$.在$\triangle ABC$中,$∠ACB=90^{\circ }$,由勾股定理得$AB=\sqrt {AC^{2}+BC^{2}}=2\sqrt {13}.\because D$是 BC 的中点,$DE⊥BC,\therefore EB=EC=4$.
∴ 四边形 ACEB 的周长$=AC+CE+EB+BA=10+2\sqrt {13}$

3.如图,将$\square ABCD的四条边DA,AB,BC,CD分别延长至点E,F,G,H$,使得$AE= CG$,$BF= DH$,连接$EF,FG,GH,HE$.求证:四边形$EFGH$为平行四边形.

答案：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore AB=CD,∠BCD=∠BAD.\therefore ∠HCG=∠FAE.\because BF=DH,\therefore AF=CH$.又$\because AE=CG,\therefore \triangle FAE\cong \triangle HCG(SAS).\therefore EF=GH$.同理可得$EH=GF$,
∴ 四边形 EFGH 为平行四边形