《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

9. 如图,$AD= 8$,$CD= 6$,$∠ADC= 90^{\circ}$,$AB= 26$,$BC= 24$,该图形的面积等于______.

答案： 96

10. 如图,将一根长$12\ \text{cm}的筷子置于底面半径为3\ \text{cm}$,高为$8\ \text{cm}$的圆柱形杯子中,则筷子露在杯子外面的长度至少为______$\text{cm}$.

答案： 2

11. 已知两条线段的长为$3\ \text{cm}和4\ \text{cm}$,当第三条线段的长为______$\text{cm}$时,这三条线段能组成一个直角三角形.

答案： 5或$\sqrt{7}$

12. 如图,$AB⊥BC于点B$,$AB⊥AD于点A$,点$E是CD$的中点,若$BC= 5$,$AD= 10$,$BE= \frac{13}{2}$,则$AB$的长是______.

答案： 12

13. 如图,在由6个大小相同的小正方形组成的方格中,点$A$,$B$,$C$是三个格点(即小正方形的顶点).判断线段$AB和BC$的关系,并说明理由.

答案： 相等且垂直.理由:连接$AC$，由勾股定理可得$AB^{2}=1^{2}+2^{2}=5$，$BC^{2}=1^{2}+2^{2}=5$，$AC^{2}=1^{2}+3^{2}=10$，$\therefore AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，$\therefore \triangle ABC$是以$\angle B$为直角的直角三角形，即$AB \perp BC$，$\therefore$线段$AB$和$BC$的关系是相等且垂直

14. 在$\triangle ABC$中,$∠A$,$∠B$,$∠C所对的边分别为a$,$b$,$c$,且$\frac{a}{a - b + c}= \frac{\frac{1}{2}(a + b + c)}{c}$.求证:$\triangle ABC$是直角三角形.

答案： $\because \frac{a}{a - b + c}=\frac{\frac{1}{2}(a + b + c)}{c}$，$\therefore ac=\frac{1}{2}(a + b + c)(a - b + c)=\frac{1}{2}[(a^{2}+2ac + c^{2})-b^{2}]$，$\therefore 2ac=a^{2}+2ac + c^{2}-b^{2}$，$\therefore a^{2}+c^{2}=b^{2}$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形

15. 如图,在四边形$ABCD$中,$BC= CD$,$∠ADB= ∠C= 90^{\circ}$,$∠A= 60^{\circ}$,$AB= 2\sqrt{6}$.求$CD$的长.

答案： $\because \angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ABD = 30^{\circ}$，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB$，$\because AB = 2\sqrt{6}$，$\therefore AD=\sqrt{6}$，$\therefore BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{6})^{2}}=3\sqrt{2}$，$\because \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore CD^{2}+BC^{2}=BD^{2}$，$\because BC = CD$，$\therefore 2CD^{2}=(3\sqrt{2})^{2}$，解得$CD = 3$(负值舍去)，$\therefore CD$的长为 3