《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

15. 如图,点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 内一点,连接 $OB$,$OC$,并将 $AB$,$OB$,$OC$,$AC$ 的中点 $D$,$E$,$F$,$G$ 依次连接,得到四边形 $DEFG$.
(1) 求证:四边形 $DEFG$ 是平行四边形;
(2) 若 $\angle OCB = 30^{\circ}$,$\angle OBC = 60^{\circ}$,$OE = 2$,求 $DG$ 的长度.

答案：
(1) $ \because D $，$ G $ 分别是 $ AB $，$ AC $ 的中点，$ \therefore DG // BC $，$ DG = \frac{1}{2}BC $，同理 $ EF // BC $，$ EF = \frac{1}{2}BC $，$ \therefore DG = EF $，$ DG // EF $，$ \therefore $ 四边形 $ DEFG $ 是平行四边形
(2) $ \because \angle OBC = 60^{\circ} $，$ \angle OCB = 30^{\circ} $，$ \therefore \angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle BOC = 90^{\circ} $，$ \therefore BC = 2OB $，由
(1)得 $ BC = 2EF $，$ DG = EF $，$ \therefore EF = OB = 2OE = 4 $，$ \therefore DG = 4 $

16. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AC = 60\mathrm{cm}$,$\angle A = 60^{\circ}$,点 $D$ 从点 $C$ 出发沿 $CA$ 方向以 $4\mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $A$ 匀速运动,同时点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $AB$ 方向以 $2\mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $B$ 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.过点 $D$ 作 $DF\perp BC$ 于点 $F$,连接 $DE$,$EF$.设点 $D$,$E$ 运动的时间是 $t\mathrm{s}(0\lt t\lt15)$.
(1) 求证:四边形 $AEFD$ 是平行四边形;
(2) 当 $t = $____时,$\triangle DEF$ 为直角三角形.

答案：
(1) $ \because \angle B = 90^{\circ} $，$ \angle A = 60^{\circ} $，$ \therefore \angle C = 30^{\circ} $，$ \therefore AB = \frac{1}{2}AC = 30 \text{ cm} $。由题意，得 $ CD = 4t \text{ cm} $，$ AE = 2t \text{ cm} $。$ \because DF \perp BC $，$ \angle C = 30^{\circ} $，$ \therefore DF = \frac{1}{2}CD = 2t \text{ cm} $，$ \therefore DF = AE $。$ \because DF \perp BC $，$ \therefore \angle DFC = 90^{\circ} $，$ \because \angle B = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle DFC = \angle B $，$ \therefore DF // AE $，$ \therefore $ 四边形 $ AEFD $ 是平行四边形
(2) $ \frac{15}{2} $ 或 12