《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

4.如图,$E,F是四边形ABCD对角线AC$上的两点,$AD// BC,DF// BE,AE= CF$.求证:
(1)$\triangle AFD\cong \triangle CEB$;
(2)四边形$ABCD$是平行四边形.

答案：

(1)如图,$\because AD// BC,DF// BE,\therefore ∠1=∠2,∠3=∠4$.又$AE=CF,\therefore AE+EF=CF+EF$,即$AF=CE$.在$\triangle AFD$和$\triangle CEB$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠1=∠2,\\ AF=CE,\\ ∠3=∠4,\end{array}\right. $$\therefore \triangle AFD\cong \triangle CEB(ASA)$
(2)由
(1)知,$\triangle AFD\cong \triangle CEB$,则$AD=CB$.又$\because AD// BC$,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形

5.如图,在四边形$ABCD$中,$∠B= ∠D,∠1= ∠2$,求证:四边形$ABCD$是平行四边形.

答案： $\because$由$∠B=∠D,∠1=∠2$,可证$∠ACB=∠CAD$,再证$∠BAD=∠BCD$,可得四边形 ABCD 是平行四边形

6.如图,$AD是\triangle ABC$的中线.
(1)画图:延长$AD到E$,使$ED= AD$,连接$BE,CE$;
(2)四边形$ABEC$是平行四边形吗? 证明你的结论.

答案：
(1)如图所示
(2)四边形 ABEC 是平行四边形,理由:$\because AD$是$\triangle ABC$的中线,$\therefore BD=CD,\because ED=AD$,
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形

7.如图所示,在四边形$ABCD$中,$AC与BD相交于点O$,且$OA= OC,OB= OD$,在线段$OB和OD$上,有点$E和F$,且$DE= BF$,连接$AE,CE,AF和CF$,求证:四边形$AECF$为平行四边形.

答案： $\because DE=BF,\therefore DF=BE$,又$\because OB=OD,\therefore OE=OF$,又$\because OA=OC$,
∴ 四边形 AECF 是平行四边形