《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

5.如图,在矩形ABCD中,AD= 5,AB= 3,在BC边上取一点E,使BE= 4,连接AE,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCF的位置,拼成四边形AEFD.
(1)求证:四边形AEFD是菱形;
(2)求四边形AEFD的两条对角线的长.

答案：
(1) 由平移的性质得 $ AE // DF $，$ AE = DF $，
∴ 四边形 $ AEFD $ 是平行四边形。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，
∴ $ \angle B = \angle DCE = 90^{\circ} $，
∴ $ AE = \sqrt{AB^{2} + BE^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 $，即 $ AE = AD $，
∴ 四边形 $ AEFD $ 是菱形
(2) 连接 $ DE $，$ AF $，在 $ Rt \triangle ABF $ 中，$ BF = BE + EF = 4 + 5 = 9 $，由勾股定理得 $ AF = \sqrt{AB^{2} + BF^{2}} = \sqrt{3^{2} + 9^{2}} = 3\sqrt{10} $，在 $ Rt \triangle DCE $ 中，$ CE = BC - BE = 5 - 4 = 1 $，由勾股定理得到 $ DE = \sqrt{CD^{2} + CE^{2}} = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10} $

6.如图,将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开,得到△ACD,再将△ACD沿DB方向平移到△A'C'D'的位置,若平移开始后点D'未到达点B时,A'C'交CD于点E,D'C'交CB于点F,连接EF,当四边形EDD'F为菱形时,试探究△A'DE的形状,并判断△A'DE与△EFC'是否全等?请说明理由.

答案： 当四边形 $ EDD'F $ 为菱形时，$ \triangle A'DE $ 是等腰三角形，$ \triangle A'DE \cong \triangle EFC' $。理由：
∵ $ \triangle BCA $ 是直角三角形，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ AD = DB $，
∴ $ CD = DA = DB $，
∴ $ \angle DAC = \angle DCA $，
∵ $ A'C' // AC $，
∴ $ \angle DA'E = \angle A $，$ \angle DEA' = \angle DCA $，
∴ $ \angle DA'E = \angle DEA' $，
∴ $ DA' = DE $，
∴ $ \triangle A'DE $ 是等腰三角形。
∵ 四边形 $ EDD'F $ 是菱形，
∴ $ EF = DE = DA' $，$ EF // DD' $，
∴ $ \angle C'EF = \angle EA'D $，$ \angle EFC' = \angle A'D'C' $，
∵ $ CD // C'D' $，
∴ $ \angle A'DE = \angle A'D'C' = \angle EFC' $，在 $ \triangle A'DE $ 和 $ \triangle EFC' $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle EA'D = \angle C'EF, } \\ { A'D = EF, } \\ { \angle A'DE = \angle EFC', } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle A'DE \cong \triangle EFC' (ASA) $

7.如图,在菱形ABCD中,AB= 4cm,$\angle ADC= 120^{\circ}$,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为 ()

A.1
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.2

答案： C

8.如图,在矩形ABCD中,AB= 6,AD= 8,且有一点P从B点沿着BD往D点移动,若过P点作AB的垂线交AB于E点,过P点作AD的垂线交AD于F点,则EF的长度最小值为______.

答案： $\frac{24}{5}$