《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

8. 如图,四边形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$,若 $AB// CD$,请添加一个条件____(写一个即可),使四边形 $ABCD$ 是平行四边形.

答案： $ AD // BC $ (答案不唯一)

9. 如图,点 $D$ 是直线 $l$ 外一点,在 $l$ 上取两点 $A$,$B$,连接 $AD$,分别以点 $B$,$D$ 为圆心,$AD$,$AB$ 的长为半径画弧,两弧交于点 $C$,连接 $CD$,$BC$,则四边形 $ABCD$ 是平行四边形,理由是____.

答案： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

10. 如图,$\square ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$\angle ADC$ 的平分线与边 $AB$ 相交于点 $P$,$E$ 是 $PD$ 中点,若 $AD = 4$,$CD = 6$,则 $EO$ 的长为____.

答案： 1

11. 如图,已知等边三角形 $ABC$ 的边长为 $8$,$P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点,$PD// AC$,$PE// AB$,$PF// BC$,点 $D$,$E$,$F$ 分别在 $AB$,$BC$,$AC$ 上,则 $PD + PE + PF= $____.

答案： 8

12. 如图,点 $E$,$F$ 在 $\square ABCD$ 的边 $BC$,$AD$ 上,$BE= \frac{1}{3}BC$,$FD= \frac{1}{3}AD$,连接 $BF$,$DE$.求证:四边形 $BEDF$ 是平行四边形.

答案： $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AD = BC $，$ AD // BC $。$ \because BE = \frac{1}{3}BC $，$ FD = \frac{1}{3}AD $，$ \therefore BE = DF $。又 $ \because DF // BE $，$ \therefore $ 四边形 $ BEDF $ 是平行四边形

13. 如图,点 $B$,$E$,$C$,$F$ 在一条直线上,$AB = DF$,$AC = DE$,$BE = FC$.连接 $AF$,$BD$,求证:四边形 $ABDF$ 是平行四边形.

答案： $ \because BE = FC $，$ \therefore BE + EC = FC + EC $，$ \therefore BC = FE $，在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DFE $ 中，$ \begin{cases} AB = DF, \\ BC = FE, \\ AC = DE, \end{cases} $ $ \therefore \triangle ABC \cong \triangle DFE (SSS) $，$ \therefore \angle ABC = \angle DFE $，$ \therefore AB // DF $，又 $ \because AB = DF $，$ \therefore $ 四边形 $ ABDF $ 是平行四边形

14. 如图,已知 $BD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,点 $E$,$F$ 分别在边 $AB$,$BC$ 上,$ED// BC$,$EF// AC$.求证:$BE = CF$.

答案： $ \because ED // BC $，$ EF // AC $，$ \therefore $ 四边形 $ EFCD $ 是平行四边形，$ \therefore DE = CF $，$ \because BD $ 平分 $ \angle ABC $，$ \therefore \angle EBD = \angle DBC $，$ \because DE // BC $，$ \therefore \angle EDB = \angle DBC $，$ \therefore \angle EBD = \angle EDB $，$ \therefore EB = ED $，$ \therefore BE = CF $