《2025年暑假作业新疆青少年出版社八年级数学人教版》

17. 已知实数$n满足等式m = \sqrt{9 + 18n}$.
(1) 当$m = 6$时,求$n$的值;
(2) 若$m$,$n$都是正整数,求$n$的最小值.

答案：
(1) 因为等式 $ m = \sqrt{9 + 18n} $, $ m = 6 $, 可得 $ 9 + 18n = 36 $, 解得 $ n = 1.5 $
(2) 因为实数 $ n $ 满足等式 $ m = \sqrt{9 + 18n} = \sqrt{9(1 + 2n)} $, $ m $, $ n $ 都是正整数, $ m \geq 81 $, $ n $ 最小时, $ m $ 最小, 可得 $ 9(1 + 2n) = 81 $, 解得 $ n = 4 $

18. 已知$x$,$y$为等腰三角形的两条边长,且$x$,$y满足y = \sqrt{3 - x} + \sqrt{2x - 6} + 4$,求此三角形的周长.

答案： 由题意得 $ 3 - x \geq 0 $, $ 2x - 6 \geq 0 $, 解得 $ x = 3 $, 则 $ y = 4 $, 当腰为 3, 底边为 4 时, 三角形的周长为 $ 3 + 3 + 4 = 10 $; 当腰为 4, 底边为 3 时, 三角形的周长为 $ 3 + 4 + 4 = 11 $, 答: 此三角形的周长为 10 或 11

19. 小明在学习中遇到这样一道题:“已知实数$x满足|2024 - x| + \sqrt{x - 2025} = x$,求$x - 2024^{2}$的值.”他说这题错了,这种题等号右边一定要是$0$才能求出,这里不是,所以解不了.他说的对吗? 如果不对,请求出$x - 2024^{2}$的值.

答案： 不对. $ \because x - 2025 \geq 0 $, $ \therefore x \geq 2025 ＞ 2024 $. $ \therefore |2024 - x| + \sqrt{x - 2025} = x - 2024 + \sqrt{x - 2025} = x $. $ \therefore \sqrt{x - 2025} = 2024 $. $ \therefore x - 2025 = 2024^2 $. $ \therefore x - 2024^2 = 2025 $

20. 计算$\sqrt{3^{2}},\sqrt{0.5^{2}},\sqrt{(-6)^{2}},\sqrt{(-\frac{3}{4})^{2}},\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}},\sqrt{0^{2}}$,根据计算结果,回答:
(1) $\sqrt{a^{2}}一定等于a$吗? 你发现其中的规律了吗? 请你用自己的语言描述出来;
(2) 利用你总结的规律,计算:
①若$x ＜ 2$,则$\sqrt{(x - 2)^{2}} = $______;②$\sqrt{(3.14 - \pi)^{2}} = $______;
(3) 若$a$,$b$,$c$为三角形的三边,化简$\sqrt{(a + b - c)^{2}} + \sqrt{(b - c - a)^{2}} + \sqrt{(b + c - a)^{2}}$.

答案： $ \sqrt{3^2} = 3 $, $ \sqrt{0.5^2} = 0.5 $, $ \sqrt{(-6)^2} = 6 $, $ \sqrt{(-\frac{3}{4})^2} = \frac{3}{4} $, $ \sqrt{(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{3} $, $ \sqrt{0^2} = 0 $
(1) $ \sqrt{a^2} $ 不一定等于 $ a $. 当 $ a \geq 0 $ 时, $ \sqrt{a^2} = a $; 当 $ a ＜ 0 $ 时, $ \sqrt{a^2} = -a $
(2) ① $ 2 - x $; ② $ \pi - 3.14 $
(3) $ \because a $, $ b $, $ c $ 为三角形的三边, $ \therefore a + b ＞ c $, $ a + c ＞ b $, $ b + c ＞ a $, $ \therefore $ 原式 $ = a + b - c + (c + a - b) + b + c - a = a + b + c $