《2026年学习与评价江苏教育出版社九年级数学下册苏科版》

4. 如图,求下列各直角三角形中字母的值.

答案： 第一个图：$ \angle=60° $，对边5，斜边$ a=\frac{5}{\sin60°}=\frac{10\sqrt{3}}{3} $，邻边$ b=5\cot60°=\frac{5\sqrt{3}}{3} $。
第二个图：$ \angle=60° $，斜边20，对边$ c=20\sin60°=10\sqrt{3} $，邻边$ d=20\cos60°=10 $。
第三个图：斜边17，$ \angle=30° $，对边$ f=17\sin30°=8.5 $，邻边$ e=17\cos30°=\frac{17\sqrt{3}}{2} $。

5. 如图,∠AOB=60°,点P在OA上,OP=12,点M、N在OB上,PM=PN,MN=2,求OM的长.

答案： 过P作PD⊥OB于D，设$ OD=x $，$ PD=OP\sin60°=6\sqrt{3} $，$ OD=OP\cos60°=6 $。
设$ MD=y $，则$ ND=y + 2 $，$ PM^2=PD^2 + MD^2 $，$ PN^2=PD^2 + ND^2 $，$ y^2=(y + 2)^2 $，无解。修正：$ PM=PN $，D为MN中点，$ MD=1 $，$ OM=OD - MD=6 - 1=5 $。
答：OM长为5。

6. 如图,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠B=∠D=90°,∠A=60°,求AD的长及四边形ABCD的面积.

答案： 延长AD、BC交于E，$ \angle E=30° $，$ AE=2AB=4 $，$ BE=AB\tan60°=2\sqrt{3} $。
$ DE=CD\cot30°=\sqrt{3} $，$ AD=AE - DE=4 - \sqrt{3} $。
$ S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3} $，$ S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} $，$ S_{ABCD}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $。
答：AD长$ 4 - \sqrt{3} $，面积$ \frac{3\sqrt{3}}{2} $。

7. 公交总站(点A)与B、C两个站点的位置如图所示,已知AC=6 km,∠B=30°,∠C=15°,求B站与公交总站的距离即AB的长(结果保留根号).

答案： 过C作CD⊥AB于D，$ \angle A=135° $，设$ CD=x $，$ AD=x $，$ AC=\sqrt{2}x=6 $，$ x=3\sqrt{2} $。
$ \angle B=30° $，$ BC=2x=6\sqrt{2} $，$ BD=BC\cos30°=3\sqrt{6} $，$ AB=BD - AD=3\sqrt{6}-3\sqrt{2} $。
答：AB长$ 3(\sqrt{6}-\sqrt{2}) $ km。

*8. 已知：如图,在△ABC中,∠CAB=120°,AB=4,AC=2,AD⊥BC,垂足为D.求AD的长(结果保留根号).

答案： 由余弦定理：$ BC^2=AB^2 + AC^2 - 2AB· AC\cos120°=16 + 4 - 2×4×2×(-\frac{1}{2})=28 $，$ BC=2\sqrt{7} $。
$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB· AC\sin120°=\frac{1}{2}×4×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} $。
$ AD=\frac{2S}{BC}=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7} $。
答：AD长$ \frac{2\sqrt{21}}{7} $。