《2026年学习与评价江苏教育出版社九年级数学下册苏科版》

5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高.求证：
（1）CD²=AD·BD；
（2）BC²=AB·BD，AC²=AB·AD.

答案： 证明：（1）
∵∠ACB=90°，CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=AD·BD；
（2）
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}$，
∴BC²=AB·BD，
同理，△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
∴AC²=AB·AD.

6. 如图，在△ABC中，AC＜BC，在BC的延长线上求作一点D，使△ACD∽△BAD，并说明理由.

答案： 作∠CAD=∠B交BC延长线于点D，则△ACD∽△BAD
理由：
∵∠CAD=∠B，∠D=∠D，
∴△ACD∽△BAD.

7. 试探究两个等腰三角形相似的条件.

答案： ①顶角相等；②底角相等；③腰与底边对应成比例

例1 如图6-15，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC的周长是24，面积是24，求△DEF的周长和面积.

答案： 周长12，面积6
解析：
∵AB=2DE，AC=2DF，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，
又∠D=∠A，
∴△DEF∽△ABC，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴△DEF的周长为$\frac{1}{2}×24=12$，面积为$(\frac{1}{2})²×24=6$.

【问题导引】如图6-14，用放大镜把三角形放大了2倍，三角形的边长、周长、角、面积这些量中，哪些量也放大了2倍？

答案： 边长、周长放大了2倍，角的大小不变，面积放大了4倍.