《2026年学习与评价江苏教育出版社九年级数学下册苏科版》

5. 如图,王叔叔在相距2m的两棵树之间拴了一根绳子,做成一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5m,绳子自然下垂可近似看成抛物线形.身高为1m的小明距离树0.5m时,头部刚好接触到绳子,求绳子的最低点与地面的距离.

答案： 解：以两树中点为原点，水平方向为$x$轴建立坐标系，抛物线过点$(-1, 2.5)$，$(1, 2.5)$，$(-0.5, 1)$，设表达式$y=ax^2 + c$。
把$(1, 2.5)$，$(-0.5, 1)$代入得$\begin{cases}a + c=2.5\\0.25a + c=1\end{cases}$，两式相减$0.75a=1.5$，$a = 2$，$c=0.5$，最低点$y=0.5m$。

例1 画出二次函数$y=x^2 - 2x - 3$的图像,根据图像回答下列问题:
(1)写出图像与x轴、y轴的交点坐标.
(2)当x取何值时,y=0？这里x的取值与方程$x^2 - 2x - 3=0$的解有什么关系？
(3)x取什么值时,函数值y大于0？x取什么值时,函数值y小于0？

答案：
(1)解：与$x$轴交点：令$y = 0$，$x^2-2x - 3=0$，$(x - 3)(x + 1)=0$，交点$(-1, 0)$，$(3, 0)$；与$y$轴交点$(0, - 3)$。
(2)当$x=-1$或$x = 3$时，$y = 0$，$x$的取值与方程的解相同。
(3)当$x\lt - 1$或$x\gt3$时，$y\gt0$；当$-1\lt x\lt3$时，$y\lt0$。

例2 已知二次函数$y=(x + m)^2 + k$的图像(图5-16).
(1)请描述该函数的最值；
(2)根据图中提供的信息求二次函数的表达式；
(3)求图像与x轴交点的坐标.

答案：
(1)解：当$x=\frac{5}{2}$时，$y$取最小值$-\frac{9}{4}$。
(2)顶点$(\frac{5}{2},-\frac{9}{4})$，表达式$y=(x-\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4}=x^2 - 5x + 4$。
(3)令$y = 0$，$x^2-5x + 4=0$，$(x - 1)(x - 4)=0$，交点$(1, 0)$，$(4, 0)$。