《2026年学习与评价江苏教育出版社九年级数学下册苏科版》

7. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，延长CA至点D，使AD=AB.
（1）求∠D和∠DBC；
（2）求tanD和tan∠DBC；
（3）请用类似的方法求tan22.5°.

答案： （1）∠D=15°，∠DBC=75°；（2）tanD=2 - √3，tan∠DBC=2 + √3；（3）tan22.5°=√2 - 1
（1）设BC=1，AB=2，AC=√3，AD=AB=2，CD=AD + AC=2 + √3。∠D=∠ABD，∠BAC=∠D + ∠ABD=30°，所以∠D=15°，∠DBC=∠ABC + ∠ABD=60° + 15°=75°。
（2）tanD=BC/CD=1/(2 + √3)=2 - √3；tan∠DBC=CD/BC=2 + √3。
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=45°，延长CA至D，使AD=AB，设BC=1，AC=1，AB=√2，AD=√2，CD=√2 + 1，∠D=22.5°，tan22.5°=BC/CD=1/(√2 + 1)=√2 - 1。

【问题导引】如图7-8，为了绿化荒山，某工程队打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉.现测得当出水口的高度为35m时，需要的水管AB长为70m.如果出水口的高度为50m，需要的水管AB长为多少米？出水口的高度为x m呢？

答案： 100m，2x m
由题意sinA=35/70=1/2，所以∠A=30°。当高度为50m时，水管长=50/sin30°=100m；当高度为x m时，水管长=x/sin30°=2x m。

【例题精讲】例 如图7-9，你能利用∠A、∠D的正弦值或余弦值来判断AB、DE哪一段山坡更陡一些吗？为什么？
（图中AB段：AB=50m，BC=30m；DE段：DE=50m，EF=40m）

答案： DE段更陡
sinA=BC/AB=30/50=0.6，sinD=EF/DE=40/50=0.8。因为sinD ＞ sinA，所以∠D ＞ ∠A，DE段更陡；或cosA=AC/AB=40/50=0.8，cosD=DF/DE=30/50=0.6，因为cosD ＜ cosA，所以∠D ＞ ∠A，DE段更陡。