《2026年学习与评价江苏教育出版社九年级数学下册苏科版》

2. 二次函数$y = x^2 - 4x$、$y = x^2 - 4x + 4$、$y = x^2 - 4x + 5$的图像如图所示。根据图像判断一元二次方程$x^2 - 4x = 0$、$x^2 - 4x + 4 = 0$、$x^2 - 4x + 5 = 0$根的情况，并解方程验证。

答案： $x^2 - 4x = 0$有两个不相等的实数根，$x_1 = 0$，$x_2 = 4$；$x^2 - 4x + 4 = 0$有两个相等的实数根，$x_1 = x_2 = 2$；$x^2 - 4x + 5 = 0$无实数根
解析：$y=x^2 - 4x$与$x$轴交于$(0,0)$，$(4,0)$，方程$x^2 - 4x = 0$的根为$0$和$4$；$y=x^2 - 4x + 4=(x - 2)^2$与$x$轴交于$(2,0)$，方程$x^2 - 4x + 4 = 0$的根为$2$（两个相等实根）；$y=x^2 - 4x + 5$，$b^2 - 4ac=16 - 20=-4＜0$，与$x$轴无交点，方程无实数根。

3. 分别求下列函数的图像与$x$轴的交点坐标，并画出图像加以验证。
（1）$y = x^2 - 3x - 4$；
（2）$y = 2x^2 + x - 6$。

答案： （1）$(-1,0)$，$(4,0)$
解析：令$y = 0$，则$x^2 - 3x - 4 = 0$，解得$x_1=-1$，$x_2 = 4$，所以交点坐标为$(-1,0)$，$(4,0)$。
（2）$(-2,0)$，$(\frac{3}{2},0)$
解析：令$y = 0$，则$2x^2 + x - 6 = 0$，解得$x_1=-2$，$x_2=\frac{3}{2}$，所以交点坐标为$(-2,0)$，$(\frac{3}{2},0)$。

4. 试说明一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$与二次函数$y = x^2 - 2x - 3$的关系。

答案： 一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的根是二次函数$y=x^2 - 2x - 3$的图像与$x$轴交点的横坐标
解析：当二次函数$y=x^2 - 2x - 3$的函数值为$0$时，对应的自变量$x$的值就是一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的根，即方程的根是函数图像与$x$轴交点的横坐标。

5. 如图，某矩形相框长为$26$cm，宽为$20$cm，其四周相框边（图中阴影部分）的宽度相同，都是$x$cm，相框内部的面积（图中较小矩形的面积）为$y$cm²。
（1）写出$y$与$x$之间的函数表达式；
（2）已知相框内部的面积为$280$cm²，求相框边的宽度。

答案： （1）$y=(26 - 2x)(20 - 2x)$
解析：内部矩形的长为$(26 - 2x)$cm，宽为$(20 - 2x)$cm，所以面积$y=(26 - 2x)(20 - 2x)$。
（2）$6$cm
解析：由题意得$(26 - 2x)(20 - 2x)=280$，展开得$4x^2 - 92x + 520 = 280$，化简得$x^2 - 23x + 60 = 0$，解得$x_1 = 3$（舍去，因为$20 - 2x=14＞0$，但相框边宽度通常较小，此处根据实际情况验证，$x = 3$时内部长$20$cm，宽$14$cm，面积$280$cm²，$x = 20$舍去），所以相框边宽度为$3$cm。（注：原解析中答案可能有误，经计算$x = 3$或$x = 20$，$x = 20$不符合实际，所以应为$3$cm）

6. 二次函数$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)$的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
（1）写出方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根；
（2）写出不等式$ax^2 + bx + c＞0$的解集；
（3）写出$y$随$x$的增大而减小的自变量$x$的取值范围；
（4）若方程$ax^2 + bx + c = k$有两个不相等的实数根，根据图像写出$k$的取值范围。

答案： （1）$x_1 = 1$，$x_2 = 3$
解析：由图像可知抛物线与$x$轴交于$(1,0)$，$(3,0)$，所以方程的两个根为$1$和$3$。
（2）$1＜x＜3$
解析：抛物线开口向下，所以当$1＜x＜3$时，函数值大于$0$。
（3）$x＞2$
解析：抛物线对称轴为$x = 2$，开口向下，所以当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
（4）$k＜2$
解析：方程$ax^2 + bx + c = k$的根即为抛物线与直线$y = k$的交点横坐标，由图像可知当$k＜2$时，有两个不相等的实数根。