《2026年学习与评价江苏教育出版社九年级数学下册苏科版》

6. 已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$，函数$y$与自变量$x$的部分对应值如下表：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | … |
求这个二次函数的表达式。

答案： $y=x^2 - 2x$
解析：由表格可知当$x = 1$时，$y = 0$，且函数图像关于$x = 1$对称，设二次函数表达式为$y=a(x - 1)^2 + k$，将$(0,1)$，$(1,0)$代入得$\begin{cases}a(0 - 1)^2 + k=1\\a(1 - 1)^2 + k=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\k = 0\end{cases}$，所以表达式为$y=(x - 1)^2=x^2 - 2x$。

7. 如图，利用二次函数的图像回答下列问题：
（1）$x$取什么值时，函数值大于$0$？
（2）$x$取什么值时，函数值小于$0$？
（3）二次函数的最小值是多少？
（4）函数值随$x$的增大是怎样变化的？

答案： （1）$x＜-1$或$x＞3$
解析：由图像可知抛物线与$x$轴交于$(-1,0)$，$(3,0)$，开口向上，所以当$x＜-1$或$x＞3$时，函数值大于$0$。
（2）$-1＜x＜3$
解析：由图像可知当$-1＜x＜3$时，函数值小于$0$。
（3）$-4$
解析：抛物线顶点坐标为$(1,-4)$，所以二次函数最小值是$-4$。
（4）当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大
解析：抛物线对称轴为$x = 1$，开口向上，所以在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大。

8. 把二次函数$y = x^2 + bx + c$的图像向左平移$2$个单位长度，再向上平移$3$个单位长度，得到二次函数$y = x^2 - 8x + 10$的图像。求$b$、$c$的值。

答案： $b=-12$，$c = 30$
解析：将$y=x^2 - 8x + 10$配方得$y=(x - 4)^2 - 6$，将其向右平移$2$个单位，向下平移$3$个单位得到原函数，即$y=(x - 4 - 2)^2 - 6 - 3=(x - 6)^2 - 9=x^2 - 12x + 36 - 9=x^2 - 12x + 27$，所以$b=-12$，$c = 27$。

【问题导引】有一道题目：“已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像经过点$A(0,a)$、$B(1,-2)$、______，求证：这个二次函数图像的对称轴是过点$(2,0)$且平行于$y$轴的直线。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。根据现有信息，你能否求出题目中这个二次函数的表达式？若能，写出求解过程；若不能，请说明理由。

答案： 能，$y=x^2 - 4x + 1$
解析：因为二次函数图像的对称轴是$x = 2$，所以$-\frac{b}{2a}=2$，即$b=-4a$。又因为图像经过$A(0,a)$，所以$c = a$，经过$B(1,-2)$，所以$a + b + c=-2$，将$b=-4a$，$c = a$代入得$a-4a + a=-2$，解得$a = 1$，则$b=-4$，$c = 1$，所以表达式为$y=x^2 - 4x + 1$。