《2026年学习与评价江苏教育出版社九年级数学下册苏科版》

7. 问题情境
已知矩形的面积为$ a $（$ a $为常数，$ a ＞ 0 $），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为$ x $，周长为$ y $，则$ y $与$ x $之间的函数表达式为$ y = 2\left( x + \frac{a}{x} \right) (x ＞ 0) $。
探索研究
（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数$ y = x + \frac{1}{x}(x ＞ 0) $的图像性质。
① 填写下表，画出函数的图像；
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hlinex & ·s & \frac{1}{4} & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 3 & 4 & ·s \\\hliney & ·s & & & & & & & & ·s \\\hline\end{array}$
② 观察图像，写出该函数两条不同类型的性质。
解决问题
（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案。

答案： （1）① 表格填写：$ \frac{17}{4} $，$ \frac{10}{3} $，$ \frac{5}{2} $，$ 2 $，$ \frac{5}{2} $，$ \frac{10}{3} $，$ \frac{17}{4} $。图像略。
② 性质1：当$ 0 ＜ x ＜ 1 $时，$ y $随$ x $的增大而减小；当$ x ＞ 1 $时，$ y $随$ x $的增大而增大。性质2：函数的最小值为$ 2 $，当$ x = 1 $时取得。
（2）当矩形的长为$ \sqrt{a} $时，周长最小，最小值为$ 4\sqrt{a} $。