《2026年学习与评价江苏教育出版社九年级数学下册苏科版》

例1 要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端装有一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处距离水池中心3m.水管应该有多高?

答案： 解：建立平面直角坐标系，点$(1, 3)$是抛物线顶点，设函数表达式$y = a(x - 1)^2+3(0\leq x\leq3)$。
由抛物线过点$(3, 0)$，得$0=a(3 - 1)^2 + 3$，解得$a=-\frac{3}{4}$。
函数表达式为$y=-\frac{3}{4}(x - 1)^2+3$。
当$x = 0$时，$y=-\frac{3}{4}(0 - 1)^2+3=-\frac{3}{4}+3 = 2.25$，即水管高$2.25m$。

例2 图5-14是一座古拱桥的截面,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.
(1)求抛物线相应的函数表达式；
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.

答案：
(1)解：抛物线顶点坐标$(5, 5)$，与$y$轴交点$(0, 1)$，设表达式$y=a(x - 5)^2+5$。
把$(0, 1)$代入得$1=a(0 - 5)^2+5$，解得$a=-\frac{4}{25}$，函数表达式$y=-\frac{4}{25}(x - 5)^2+5(0\leq x\leq10)$。
(2)由题意得$4=-\frac{4}{25}(x - 5)^2+5$，$\frac{4}{25}(x - 5)^2=1$，$(x - 5)^2=\frac{25}{4}$，$x - 5=\pm\frac{5}{2}$，$x_1=\frac{15}{2},x_2=\frac{5}{2}$。
两灯水平距离$x_1 - x_2=\frac{15}{2}-\frac{5}{2}=5m$。