《2025年成才之路高中新课程学习指导高中物理必修第二册人教版》

典题2：2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功将3名航天员送入空间站。假定空间站在距地面$450\ km$高度处做理想的匀速圆周运动，每天绕地球大约19圈。某时刻“北斗”系统中的中轨道卫星A与空间站相距最近如图所示，该中轨道卫星距地面高度为$2.1× 10^{7}\ m$，地球半径为$6.4× 10^{6}\ m$，卫星A和空间站的运行轨道在同一平面内且运行方向相同，则从图示位置往后开始计数(不包括图示位置)，下列说法正确的是 (B)


A.空间站绕地球运动的线速度大于$7.9\ km/s$
B.轨道卫星A绕地球运动周期大于空间站的周期
C.轨道卫星A绕地球运动的向心加速度大于空间站的向心加速度
D.在卫星A运行一周时间内，空间站与卫星A相距最近的次数为19次

答案： 典题2：B 第一宇宙速度为卫星绕地球的最大环绕速度，故空间站绕地球运动的线速度应小于$7.9\ km/s$，故A错误；根据开普勒第三定律可得$\frac{r_{A}^{3}}{T_{A}^{2}} = \frac{r_{空}^{3}}{T_{空}^{2}}$，由于$r_{A} \gt r_{空}$，故$T_{A} \gt T_{空}$，故B正确；根据万有引力提供向心力可得$a = \frac{GM}{r^{2}}$，由于轨道卫星A的运动半径大于空间站，故轨道卫星A绕地球运动的向心加速度小于空间站的向心加速度，故C错误；根据开普勒第三定律可得\frac{T_{空}}{T_{A}} = \sqrt{\frac{r_{空}^{3}}{r_{A}^{3}}} = \sqrt{\frac{2.74 × 10^{7}^{3}}{6.85 × 10^{6}}}，从图示位置开始，二者转过的角度相差$n · 2\pi$时可得$(\frac{2\pi}{T_{空}} - \frac{2\pi}{T_{A}})t = n · 2\pi(n = 1,2,3·s)$，解得$t = \frac{nT_{A}}{7}$，故在卫星A运行一周时间内，$n$的取值为$(0,7]$，共有7次相距最近，故D错误。故选B。

跟踪训练2：如图所示，$a$是“天宫一号”飞行器、$b$、$c$是地球同步卫星，此时，$a$、$b$恰好相距最近。已知地球质量为$M$，半径为$R$，地球自转角速度为$\omega$，若“天宫一号”飞行器$a$和卫星$b$、$c$均沿逆时针方向转动，“天宫一号”飞行器$a$的轨道半径为$r$，引力常量为$G$，则 (D)


A.“天宫一号”飞行器$a$的线速度小于卫星$b$的线速度
B.“天宫一号”飞行器$a$在轨运行的周期大于24小时
C.卫星$c$加速就一定能追上卫星$b$
D.从此时起再经$\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{GM}{r^{3}}}-\omega}$时间$a$、$b$相距最近

答案： 跟踪训练2：D 卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$，解卫星的线速度大小为$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，由于“天宫一号”飞行器$a$的轨道半径小于卫星$b$的轨道半径，所以“天宫一号”飞行器$a$的线速度大于卫星$b$的线速度，故A错误；由万有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m r \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}}$，解得卫星的运行周期$T = \sqrt{\frac{4 \pi^{2} r^{3}}{GM}}$，由于“天宫一号”飞行器$a$的轨道半径小于卫星$b$的轨道半径，所以“天宫一号”飞行器$a$在轨运行的周期小于卫星$b$的周期，$b$、$c$是地球同步卫星，$b$的周期为24小时，则“天宫一号”飞行器$a$在轨运行的周期小于24小时，故B错误；根据卫星变轨原理可知，卫星$c$加速后做离心运动，将离开原轨道，则不能追上卫星$b$，故C错误；由万有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m r \omega^{2}$，解卫星的角速度$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^{3}}}$，可知卫星的轨道半径越大，角速度越小，卫星$a$、$b$由相距最近至再次相距最近时，圆周运动转过的角度差为$2\pi$，则有$\omega_{a}t - \omega_{b}t = 2\pi$，解得$t = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{GM}{r_{a}^{3}}} - \omega}$，故D正确。故选D。