《2025年成才之路高中新课程学习指导高中物理必修第二册人教版》

典题 2：(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为 $ M $，引力常量为 $ G $，将地球视为半径为 $ R $、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是 (AC)

A.在北极地面称量时，弹簧测力计读数为 $ F_0 = G\frac{Mm}{R^2} $
B.在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为 $ F_1 = G\frac{Mm}{R^2} $
C.在北极上空高出地面 $ h $ 处称量时，弹簧测力计读数为 $ F_2 = G\frac{Mm}{(R + h)^2} $
D.在赤道上空高出地面 $ h $ 处称量时，弹簧测力计读数为 $ F_3 = G\frac{Mm}{(R + h)^2} $

答案： 典题2：AC在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有$F_{0} = G\frac{Mm}{R^{2}}$，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有$F_{1} ＜ G\frac{Mm}{R^{2}}$，故B错误；在北极上空高出地面$h$处称量时，万有引力等于重力，则有$F_{2} = G\frac{Mm}{(R + h)^{2}}$，故C正确；在赤道上空高出地面$h$处称量时，$F_{3} ＜ G\frac{Mm}{(R + h)^{2}}$，故D错误。

跟踪训练 2：一半径为 $ R $、质量分布均匀的球形行星绕其自转轴匀速转动。若质量为 $ m $ 的物体在该行星两极时的重力为 $ G_0 $，在该行星赤道上的重力为 $ \frac{3G_0}{4} $，设行星自转的角速度为 $ \omega $，则下列表达式正确的是 (A)

A.$ \omega = \sqrt{\frac{G_0}{4mR}} $
B.$ \omega = \sqrt{\frac{G_0}{3mR}} $
C.$ \omega = \sqrt{\frac{G_0}{2mR}} $
D.$ \omega = \sqrt{\frac{G_0}{mR}} $

答案： 跟踪训练2：A在两极上$G\frac{Mm}{R^{2}} = G_{0}$，在该行星赤道上时，万有引力、重力、向心力满足关系$G\frac{Mm}{R^{2}} = \frac{3}{4}G_{0} + m\omega^{2}R$，解得$\omega = \sqrt{\frac{G_{0}}{4mR}}$，故选A。

典题 3：设想从地球赤道平面内架设一垂直于地面延伸到太空的电梯，电梯的箱体可以将人从地面运送到地球同步轨道的空间站。已知地球表面两极处的重力加速度为 $ g $，地球自转周期为 $ T $，地球半径为 $ R $，引力常量为 $ G $。求：
(1) 同步轨道空间站距地面的高度 $ h $；
(2) 太空电梯的箱体停在距地面 $ R $ 高处时，箱体对质量为 $ m $ 的乘客的作用力 $ F $。
思维点拨：电梯的箱体将人从地面运送到地球同步轨道的空间站过程中角速度不变。

答案： 典题3：
(1)$\sqrt[3]{\frac{gR^{2}T^{2}}{4\pi^{2}}}-R$
(2)$\frac{mgT^{2}-32\pi^{2}mR}{4T^{2}}$，方向为背离地心
解析：
(1)由万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{(R + h)^{2}} = m(R + h)\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}$，在地球表面两极处有$G\frac{Mm}{R^{2}} = mg$，联立可得，同步轨道空间站距地面的高度为$h = \sqrt[3]{\frac{gR^{2}T^{2}}{4\pi^{2}}}-R$。
(2)太空电梯的箱体停在距地面$R$高处时，乘客受到的万有引力为$F_{万} = G\frac{Mm}{(2R)^{2}} = \frac{mg}{4}$，太空电梯的箱体停在距地面$R$高处时，乘客所需要的向心力为$F_{n} = m·2R\frac{4\pi^{2}}{T^{2}} = \frac{8\pi^{2}mR}{T^{2}}$，所以，箱体对质量为$m$的乘客的作用力为$F = F_{万}-F_{n} = \frac{mg}{4}-\frac{8\pi^{2}mR}{T^{2}} = \frac{mgT^{2}-32\pi^{2}mR}{4T^{2}}$，方向为背离地心。