《2025年成才之路高中新课程学习指导高中物理必修第二册人教版》

行星运动的近似处理

答案： 圆心 不变 匀速圆周运动 轨道半径$r$ 公转周期$T$

典题4：如图所示，三个质点$a$、$b$、$c$质量分别为$m_1$、$m_2$、$M$($M\gg m_1$，$M\gg m_2$)，在$c$的万有引力作用下，$a$、$b$在同一平面内绕$c$沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比为$r_a:r_b = 1:4$。从图示位置开始($a$、$c$连线和$b$、$c$连线的夹角为一很小的锐角)，在$b$运动两周的过程中，$a$、$b$、$c$三点共线了 (C)


A.14次
B.24次
C.28次
D.32次

答案： 典题4:C根据开普勒第三定律可得$\frac{r_{a}^{3}}{T_{a}^{2}} = \frac{r_{b}^{3}}{T_{b}^{2}}$，已知$r_{a}:r_{b} = 1:4$，解得$T_{b} = 8T_{a}$，因此在$b$运动两周的过程中，$a$运动了16周，$a$比$b$多转了14周，每一周有2次三点共线，这样$a$、$b$、$c$三点共线了28次，故选C。

跟踪训练4：有一个名叫谷神的小行星，质量为$m = 1.00×10^{21}kg$，它的轨道半径是地球绕太阳运动轨道半径的2.77倍，求它绕太阳运动一周所需要的时间。

答案： 跟踪训练4:4.61年
解析:假设地球绕太阳运动的轨道半径为$R_{0}$，则谷神绕太阳运动的轨道半径为$R = 2.77R_{0}$。
已知地球绕太阳运动的周期为$T_{0} = 1$年。
依据$\frac{R^{3}}{T^{2}} = k$可得:对地球绕太阳运动有$\frac{R_{0}^{3}}{T_{0}^{2}} = k$
对谷神绕太阳运动有$\frac{R^{3}}{T^{2}} = k$
联立上述两式解得$T = \sqrt{\frac{R^{3}}{R_{0}^{3}}}T_{0}$。
将$R = 2.77R_{0}$代入上式解得$T = \sqrt{2.77^{3}}T_{0}$。
所以，谷神绕太阳一周所用时间为$T = \sqrt{2.77^{3}}T_{0} = 4.61$年。