《2025年成才之路高中新课程学习指导高中物理必修第二册人教版》

典题 5：已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为 $ 0 $。对于某质量分布均匀的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用 $ x $ 表示某位置到该星球球心的距离，用 $ g $ 表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于 $ g $ 与 $ x $ 的关系图像可能正确的是(A)

答案： 典题5：A 当$x \leq R$，设星球的密度为$\rho$，距星球球心$x$处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为$G\frac{\frac{4}{3}\pi x^{3}m}{x^{2}} = mg$，可得$g = \frac{4\pi G\rho x}{3}$；当$x ＞ R$，设星球的密度为$\rho$，星球半径为$R$，距星球球心$x$处的物体受到的万有引力与该处的重力的关系为$G\frac{\frac{4}{3}\pi R^{3}m}{x^{2}} = mg$，可得$g = \frac{4\pi G\rho R^{3}}{3x^{2}}$，故选A。

跟踪训练 5
(多选)一个质量均匀分布的球体，半径为 $ 2r $，在其内部挖去一个半径为 $ r $ 的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为 $ m $，在球心和空穴中心连线上，距球心 $ d = 6r $ 处有一质量为 $ m_{2} $ 的质点，若被挖去的小球挖去前对 $ m_{2} $ 的万有引力为 $ F_{1} $，剩余部分对 $ m_{2} $ 的万有引力为 $ F_{2} $，则(BD)


A.$ F_{2} = G\frac{41mm_{2}}{196r^{2}} $
B.$ F_{2} = G\frac{41mm_{2}}{225r^{2}} $
C.$ \frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{12}{41} $
D.$ \frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{9}{41} $

答案： 跟踪训练5：BD 被挖部分对质点的引力为$F_{1} = G\frac{mm_{2}}{(5r)^{2}} = \frac{Gmm_{2}}{25r^{2}}$，由其内部挖去一个半径为$r$的球形空腔，挖去小球的质量为$m$，可知球体密度为$\rho = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}$，设挖去之前的球的质量为$M$，则$M = \rho V = (\frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}) × \frac{4\pi(2r)^{3}}{3} = 8m$，故挖去前的球体对质点的引力为$F_{总} = G\frac{Mm_{2}}{(6r)^{2}} = \frac{8mm_{2}}{(6r)^{2}} = \frac{2Gmm_{2}}{9r^{2}}$，挖去后剩余部分对质点的引力为$F_{2} = F_{总} - F_{1} = \frac{2Gmm_{2}}{9r^{2}} - \frac{Gmm_{2}}{25r^{2}} = \frac{41Gmm_{2}}{225r^{2}}$，所以$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{9}{41}$，故选BD。