《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

18. (6分)先化简,再求值:$(\frac{x}{x^{2}+2x + 1}-\frac{1}{2x + 2})÷\frac{x - 1}{4x + 4}$,其中$x=\sqrt{2}-1$.

答案： $\sqrt{2}$

19. (9分)如图①,网格中的每个小正方形的边长为$1$,$\triangle ABC$为格点三角形(点$A$,$B$,$C$在小正方形的格点上),直线$m$经过小正方形的格点.

(1)如图①,作出$\triangle ABC$关于直线$m$的对称图形$\triangle A'B'C'$.
(2)如图②,在直线$m$上找到一点$P$,使$PA + PB$的值最小.
(3)如图③,仅用直尺将网格中的格点$\triangle ABC$的面积三等分,并将其中的一份用铅笔涂成阴影.

答案：
(1) 如图①所示，$\triangle A'B'C'$即为所求。
确定$A$、$B$、$C$关于直线$m$对称的点$A'$、$B'$、$C'$，依次连接$A'$、$B'$、$C'$得到$\triangle A'B'C'$。
(2) 如图②所示，连接$BA'$与直线$m$的交点即为所求的点$P$。
作$A$关于直线$m$的对称点$A'$，连接$BA'$，与直线$m$的交点为$P$，根据两点之间线段最短，此时$PA + PB$的值最小。
(3) 如图③所示，涂阴影其中一份即可。
采取相似三角形或等面积分割方法，将$\triangle ABC$面积三等分，图中展示了一种可能的三等分方式，并将其中一份涂成阴影。

20. (10分)辨思维构造法如图,四边形$ABCD$是舞蹈训练场地,要在场地上铺上草坪.经过测量知$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 24m$,$BC$$= 7m$,$CD = 15m$,$AD = 20m$.
(1)判断$\angle D$是不是直角,并说明理由.
(2)求四边形$ABCD$需要铺草坪的面积.

答案：
(1)
连接$AC$，因为$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 24m$，$BC = 7m$，根据勾股定理$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$，可得$AC=\sqrt{24^{2}+7^{2}}=\sqrt{576 + 49}=\sqrt{625}=25m$。
已知$CD = 15m$，$AD = 20m$，$15^{2}+20^{2}=225+400 = 625=25^{2}$，即$CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，可知$\angle D = 90^{\circ}$。
(2)
$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×24×7 = 84m^{2}$。
$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×20×15=150m^{2}$。
所以$S_{四边形ABCD}=84 + 150=234m^{2}$。
综上，
(1)$\angle D$是直角；
(2)四边形$ABCD$需要铺草坪的面积是$234m^{2}$。