《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

典例6
若方程 $ \frac{3}{x} = \frac{m}{x - 3} $ 的根为 $ x = 6 $,则 $ m $ 的值是 ______.

答案： （这里虽然原题是填空，但按要求若为选择则对应填字母，而本题为填空题直接给数值结果，由于说明要求不要填选项内容，而本题非选择，故按照要求应理解为直接给出数值的“代码”形式，但非选择无选项字母，因此直接陈述）$3 ÷ 2$（或$1.5$，而按数学规范填$ \frac{3}{2}$ ）对应填$\frac{3}{2}$（若按题目空白填写则直接填$\frac{3}{2}$）。

7. 若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{2}{x - 2}$$+ \frac{m}{2 - x} = 2 $ 的解为正数,则 $ m $ 的取值范围是( )

A.$ m ＜ 6 $
B.$ m ＞ 6 $
C.$ m ＞ 6 $ 且 $ m \neq 10 $
D.$ m ＜ 6 $ 且 $ m \neq 2 $

答案： D

典例7
(邢台期中)解分式方程 $ \frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x} $ 时,将方程两边都乘同一个整式,得到一个一元一次方程,这个整式是( )

A.$ x $
B.$ x - 3 $
C.$ x(x - 3) $
D.$ x + (x - 3) $

答案： C

8. 解方程: $ \frac{x}{x - 2} - \frac{2}{x^2 - 4} = 1 $.

答案： 解：
方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$得：
$x(x + 2) - 2=(x + 2)(x - 2)$
展开得：$x^2+2x - 2=x^2 - 4$
移项得：$x^2 - x^2+2x=-4 + 2$
合并同类项得：$2x=-2$
解得：$x=-1$
检验：当$x = - 1$时，$(x + 2)(x - 2)=(-1 + 2)×(-1 - 2)=1×(-3)=-3\neq0$
所以$x=-1$是原分式方程的解。

典例8
(永州中考)若关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{1}{x - 4} - \frac{m}{4 - x} = 1 $ ($ m $ 为常数)有增根,则增根是 ______.

答案： 增根是 $4$（由于本题为填空题，直接给出答案数值即可，按照要求格式，此处应只填写数值，即：4）

9. 若分式方程 $ \frac{2x}{x - 1} - 2 = \frac{m}{(x - 1)(x + 2)} $ 有增根,则 $ m $ 的值为( )

A.$ 3 $
B.$ 6 $
C.$ 1 $ 或 $ -2 $
D.$ 0 $ 或 $ 6 $

答案： 9.D [解析$] \frac {1}{x-2} + \frac {a}{2-x} = 2a，$方程两边同乘x - 2，得
1 - a = 2ax - 4a，移项、合并同类项，得2ax = 3a + 1.
$\because$方程无解，$\therefore 2a = 0$或$\frac {3a + 1}{2a} = 2，$解得a = 0或a = 1.
故选D.

典例9
若关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{1}{x - 2} + \frac{a}{2 - x} = 2a $ 无解,则 $ a $ 的值为( )

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ -1 $ 或 $ 0 $
D. 0 或 1

答案： 9.D [解析$] \frac {1}{x-2} + \frac {a}{2-x} = 2a，$方程两边同乘x - 2，得
1 - a = 2ax - 4a，移项、合并同类项，得2ax = 3a + 1.
$\because$方程无解，$\therefore 2a = 0$或$\frac {3a + 1}{2a} = 2，$解得a = 0或a = 1.
故选D.

10. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{3}{x - 3} + \frac{ax}{x^2 - 9} = \frac{4}{x + 3} $ 无解,则 $ a $ 的值为 1或8或 - 6.

答案： 10.1或8或 - 6 [解析$] \because \frac {3}{x - 3} + \frac {ax}{x^{2} - 9} = \frac {4}{x + 3} , \therefore 3x + 9 + ax = 4x - 12 , \therefore (a - 1)x = - 21. \because$分式方程无解，
$\therefore$分两种情况：当a - 1 = 0时，a = 1；当(x + 3)(x - 3) = 0时，$x = \pm 3，$把$x = \pm 3$分别代入(a - 1)x = - 21，得a = - 6或8，综上所述，a的值为1或8或 - 6.

典例10
(承德期末)某商场分两次购进应季服装,第一次花费 $ 4800 $ 元购进服装,由于服装特别畅销,很快全部售完.第二次花费比第一次多了 $ 4200 $ 元购进服装,且第二次购进服装的数量是第一次的 $ \frac{5}{4} $,购进单价比第一次上涨了 $ 20 $ 元.设第一次购进服装的单价是 $ x $ 元/件,下列方程正确的是( )

A.$ \frac{4800}{x} = \frac{9000}{x - 20} × \frac{5}{4} $
B.$ \frac{4800}{x} = \frac{4200}{x - 20} × \frac{5}{4} $
C.$ \frac{4800}{x} × \frac{5}{4} = \frac{4200}{x + 20} $
D.$ \frac{4800}{x} × \frac{5}{4} = \frac{9000}{x + 20} $

答案： 10.D

11. 某公司一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书,甲工程队施工 $ 1 $ 天需付工程款 $ 1.5 $ 万元,单独施工 $ 20 $ 天完成;乙工程队每天需付工程款 $ 1.1 $ 万元;如果甲、乙两队合作施工 $ 4 $ 天后,剩余的工程由乙工程队单独做 $ 16 $ 天正好如期完成.
(1)求乙工程队单独完成该工程所需的天数.
(2)若延期完成,超出工期的时间,公司则每天要损失 $ 0.4 $ 万元,你认为单独找哪一个工程队施工更实惠?

答案： 11. 解：
(1)设乙工程队单独完成要x天，则每天完成$\frac {1}{x}.$
根据题意，得$(\frac {1}{20} + \frac {1}{x}) × 4 + \frac {1}{x} × 16 = 1，$解得x = 25，
经检验，x = 25是原方程的解，故乙工程队单独完成该工程要25天$. (2) \because$两队合作4天，乙队又用了16天
如期完工，$\therefore$工期为20天. 甲队单独完成费用为1.5 × 20 = 30(万元)；乙队单独完成费用为1.1 × 25 + 0.4 × (25 - 20) = 29.5(万元). 故单独找乙工程队施工更实惠.