《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

典例 1 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D$为$BC$上一点,$CD = AD$,$AB = BD$,则$\angle B =$____.

答案： 1. 36°

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AE$是中线,$BF$是角平分线,$\angle C = 70^{\circ}$,则$\angle 1 =$____.

答案： 1. 125°

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$P$是$BC$边上的一点,过点$P$作$BC$的垂线,交$AB$于点$Q$,交$CA$的延长线于点$R$.若$AQ$$= AR$,求证:$\triangle ABC$是等腰三角形.

答案： 2. 证明：
∵AQ = AR，
∴∠AQR = ∠R. 又
∵∠BQP = ∠AQP，∠R = ∠BQP.
∵PQ 是 BC 的垂线，
∴∠B + ∠BQP = 90°，∠C + ∠R = 90°，
∴∠B = ∠C，AB = AC，
∴△ABC 是等腰三角形.

典例 2 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$E$是$AC$上一点,$D$是$BC$延长线上一点,连接$BE$,$DE$,若$\angle ABE = 40^{\circ}$,$BE = DE$,则$\angle CED =$____.

答案： 2. 40° [解析]
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC = ∠ACB = 60°.
∵∠ABE = 40°，
∴∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = 60° - 40° = 20°.
∵BE = DE，
∴∠D = ∠EBC = 20°，
∴∠CED = ∠ACB - ∠D = 40°.

3. (石家庄期末)如图是某种落地灯的简易示意图,已知悬杆$CD$与支杆$BC$,$CD = BC$且$\angle BCE = 120^{\circ}$.若$CD$的长度为$50\ cm$,则此时$B$,$D$两点之间的距离为()

A.$40\ cm$
B.$45\ cm$
C.$50\ cm$
D.$55\ cm$

答案： 3. C [解析]连接 BD.
∵CD = BC，∠BCE = 120°，
∴∠BCD = 180° - ∠BCE = 60°，
∴△BCD 是等边三角形，
∴BD = CD = 50 cm. 即此时 B，D 两点之间的距离为 50 cm.

4. 新课标 推理能力 如图,$E$为等边$\triangle ABC$的边$AC$上一点,且$\angle 1 = \angle 2$,$CD$$= BE$,试判定$\triangle ADE$的形状,并说明理由.

答案： 4. 解：△ADE 是等边三角形. 理由：
∵E 为等边△ABC 的边 AC 上一点，
∴AB = AC，∠BAE = 60°. 在△ABE 和△ACD 中，
$\begin{cases}$
AB = AC \\
∠1 = ∠2 \\
BE = CD
$\end{cases}$
∴△ABE ≌ △ACD (SAS)，
∴AE = AD，∠CAD = ∠BAE = 60°，
∴△ADE 是等边三角形.

典例 3 给定下列条件,不能判定$\triangle ABC$是直角三角形的是( )

A.$\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$
B.$\angle A - \angle C = \angle B$
C.$\angle A = \angle B = 2\angle C$
D.$\angle A = \angle B = \frac{1}{2}\angle C$

答案： 3. C

5. 在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 2\angle A$,则$\angle A =$____.

答案： 5. 30°

典例 4 如图,在$Rt\triangle BAC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AD$是$BC$边上的中线,$ED \perp BC$于点$D$,交$BA$的延长线于点$E$,若$\angle E = 33^{\circ}$,则$\angle BDA =$____.

答案： 4. 66° [解析]
∵∠E = 33°，ED ⊥ BC，
∴∠B = 57°.
∵∠BAC = 90°，AD 是 BC 边上的中线，
∴DA = DB，
∴∠DAB = ∠B = 57°，
∴∠BDA = 180° - 57° - 57° = 66°.

6. 如图,$\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$,$M$,$N$分别是$AC$,$BD$的中点,求证:$MN \perp BD$.

答案： 6. 证明：连接 MB，MD.
∵∠ABC = ∠ADC = 90°，M 为 AC 的中点，
∴$MB = MD = \frac{1}{2}AC. $又
∵N 为 BD 的中点，
∴MN ⊥ BD.