《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

19. (10分)(保定期末)喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”.例：1，4，9这三个数，$\sqrt{1×4}=2$，$\sqrt{1×9}=3$，$\sqrt{4×9}=6$，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6.
(1)请直接判断：3，12，32是不是“和谐组合”？______.(填“是”或“不是”)
(2)请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根.
(3)已知9，$a$，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求$a$的值.

答案： 19.
(1)不是
(2)证明：
∵$\sqrt{2 × 18}=6$，$\sqrt{2 × 8}=4$，$\sqrt{18 × 8}=12$，
∴2,18,8这三个数是“和谐组合”，
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12.
(3)解：分三种情况：当9≤a≤25时，$\sqrt{25a}=3\sqrt{9a}$，解得a=0(舍去)；当a≤9＜25时，$\sqrt{9 × 25}=3\sqrt{9a}$，解得a=$\frac{25}{9}$(舍去)；当9＜25≤a时，$\sqrt{25a}=$3$\sqrt{9 × 25}$，解得a=81.综上所述，a的值为81.

20. (8分)(邯郸期末)已知关于$x$的分式方程$\frac{3-2x}{x-2}-\frac{mx-2}{2-x}=-1$.
(1)当$m=3$时，解分式方程.
(2)若这个分式方程无解，求$m$的值.

答案： 20.解：
(1)把m=3代入，得$\frac{3 - 2x}{x - 2} - \frac{3x - 2}{2 - x} = -1$，去分母，得3-2x+3x-2=2-x，解得x=$\frac{1}{2}$，检验：当x=$\frac{1}{2}$时，x-2≠0，
∴分式方程的解为x=$\frac{1}{2}$.
(2)去分母，得3-2x+mx-2=2-x，整理，得(m-1)x=1.当m-1=0，即m=1时，方程无解；当m≠1时，由分式方程无解，得到x-2=0，即x=2，把x=2代入整式方程，得3-4+2m-2=0，解得m=$\frac{3}{2}$.综上所述，m的值为1或$\frac{3}{2}$.