《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

24. （12分）新考向 探究题 勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同. 在学习勾股定理时，李老师带领同学们进行如下的探究活动：如图①是用硬纸板剪成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别为 $a$，$b$，斜边长为 $c$）和一个边长为 $c$ 的正方形，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.
（1）如图②是小明拼成的示意图，请你利用图②验证勾股定理.
（2）一个零件的形状如图③，按规定这个零件中 $\angle A$ 和 $\angle C$ 都应是直角. 工人师傅测得这个零件各边尺寸（单位：cm）如图④所示，这个零件符合要求吗？

答案： 24.解：
(1)$\because$正方形面积可表示为$c^2$，根据图②，正方形面积还可以表示为$\frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2$，$\therefore \frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2 = c^2$，$\therefore 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = c^2$，$\therefore a^2 + b^2 = c^2$.
(2)在$\triangle BDC$中，$BC^2 + DC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = BD^2$，$\therefore \triangle BCD$是直角三角形，$\angle C$是直角.在$\triangle ABD$中，$AB^2 + AD^2 = 23^2 + 8^2 = 529 + 64 = 593$，$BD^2 = 25^2 = 625$，$AB^2 + AD^2 \neq BD^2$，$\therefore \triangle ABD$不是直角三角形，$\angle A$不是直角.因此，这个零件不符合要求.