《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

24. (12分)新考向规律探究(邯郸期末)小丽根据学习“数与式”积累的经验,想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
下面是小丽的探究过程,请补充完整.
(1)具体运算,发现规律.
特例1:$\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3 + 1}{3}} = \sqrt{4 × \frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$;
特例2:$\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{8 + 1}{4}} = \sqrt{9 × \frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}}$;
特例3:$\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{1}{5}}$;
特例4:______ = ______.(填写一个符合上述运算特征的例子)
(2)观察、归纳,得出猜想.
如果$n$为正整数,用含$n$的式子表示上述的运算规律为 = ______.
(3)证明你的猜想.
(4)应用运算规律化简:$\sqrt{2024 + \frac{1}{2026}} × \sqrt{4052} = $______.

答案： 24.
(1)$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$
(3)证明：等式左边$=\sqrt{\frac{n^{2}+2n + 1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{(n + 1)^{2}}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}=$右边，故猜想成立.
(4)$2025\sqrt{2}$