《2025年期末考向标八年级数学上册冀教版》

22. （12分）（唐山期末）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连接CF.
（1）求证：CF//AB.
（2）若∠ABC=50°，CA平分∠BCF，求∠A的度数.

答案： 22.
(1)证明：
∵E为AC的中点，
∴AE = CE. 在△AED和△CEF中，$\begin{cases} AE = CE \\ \angle AED = \angle CEF \\ ED = EF \end{cases}$，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴∠A = ∠ACF，
∴CF//AB.
(2)解：
∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB = ∠ACF.
∵∠A = ∠ACF，
∴∠A = ∠ACB.
∵∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，∠ABC = 50°，
∴2∠A = 130°，
∴∠A = 65°.

23. （14分）新考向 探究题（石家庄期中）如图①，AB=4 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3 cm. 点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动. 它们运动的时间为t s.
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC与线段PQ的位置关系，请分别说明理由.
（2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变. 设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在x，使△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由.

答案： 23.解：
(1)△ACP与△BPQ全等，线段PC与线段PQ垂直. 理由如下：
∵AB = 4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC = BD = 3cm，
∴∠A = ∠B = 90°. 当t = 1时，AP = BQ = 1cm，BP = AC = 3cm. 在△ACP和△BPQ中，$\begin{cases} AP = BQ \\ \angle A = \angle B \\ AC = BP \end{cases}$，
∴△ACP≌△BPQ(SAS)，
∴∠ACP = ∠BPQ，
∴∠APC + ∠BPQ = ∠APC + ∠ACP = 90°，
∴∠CPQ = 90°，即线段PC与线段PQ垂直.
(2)若△ACP≌△BPQ，则$\begin{cases} AC = BP \\ AP = BQ \end{cases}$，即$\begin{cases} 3 = 4 - t \\ t = xt \end{cases}$，解得$\begin{cases} t = 1 \\ x = 1 \end{cases}$；若△ACP≌△BQP，则$\begin{cases} AC = BQ \\ AP = BP \end{cases}$，即$\begin{cases} 3 = xt \\ t = 4 - t \end{cases}$，解得$\begin{cases} t = 2 \\ x = \frac{3}{2} \end{cases}$. 综上所述，存在$\begin{cases} t = 1 \\ x = 1 \end{cases}$或$\begin{cases} t = 2 \\ x = \frac{3}{2} \end{cases}$，使△ACP与△BPQ全等.